矩阵的初等变换与线性方程组习题课.ppt

第31页，共53页，星期日，2025年，2月5日从而得到方程组的通解第32页，共53页，星期日，2025年，2月5日第33页，共53页，星期日，2025年，2月5日第34页，共53页，星期日，2025年，2月5日解法二用初等行变换把系数矩阵化为阶梯形第35页，共53页，星期日，2025年，2月5日第36页，共53页，星期日，2025年，2月5日三、求逆矩阵的初等变换法第37页，共53页，星期日，2025年，2月5日例４求下述矩阵的逆矩阵．解第38页，共53页，星期日，2025年，2月5日关于矩阵的初等变换与线性方程组习题课第1页，共53页，星期日，2025年，2月5日１初等变换的定义换法变换倍法变换消法变换第2页，共53页，星期日，2025年，2月5日初等变换逆变换三种初等变换都是可逆的，且其逆变换是同一类型的初等变换．第3页，共53页，星期日，2025年，2月5日反身性传递性对称性２矩阵的等价第4页，共53页，星期日，2025年，2月5日三种初等变换对应着三种初等矩阵．３初等矩阵由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵．第5页，共53页，星期日，2025年，2月5日（１）换法变换：对调两行（列），得初等矩阵．第6页，共53页，星期日，2025年，2月5日（２）倍法变换：以数（非零）乘某行（列），得初等矩阵．第7页，共53页，星期日，2025年，2月5日（３）消法变换：以数乘某行（列）加到另一行（列）上去，得初等矩阵．第8页，共53页，星期日，2025年，2月5日经过初等行变换，可把矩阵化为行阶梯形矩阵，其特点是：可画出一条阶梯线，线的下方全为0；每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元．例如４行阶梯形矩阵第9页，共53页，星期日，2025年，2月5日经过初等行变换，行阶梯形矩阵还可以进一步化为行最简形矩阵，其特点是：非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在列的其它元素都为0．例如５行最简形矩阵第10页，共53页，星期日，2025年，2月5日对行阶梯形矩阵再进行初等列变换，可得到矩阵的标准形，其特点是：左上角是一个单位矩阵，其余元素都为0．例如６矩阵的标准形第11页，共53页，星期日，2025年，2月5日所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形是这个等价类中形状最简单的矩阵．第12页，共53页，星期日，2025年，2月5日定义７矩阵的秩定义第13页，共53页，星期日，2025年，2月5日定理行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数．８矩阵秩的性质及定理第14页，共53页，星期日，2025年，2月5日第15页，共53页，星期日，2025年，2月5日定理定理９线性方程组有解判别定理第16页，共53页，星期日，2025年，2月5日齐次线性方程组：把系数矩阵化成行最简形矩阵，写出通解．非齐次线性方程组：把增广矩阵化成行阶梯形矩阵，根据有解判别定理判断是否有解，若有解，把增广矩阵进一步化成行最简形矩阵，写出通解．10线性方程组的解法第17页，共53页，星期日，2025年，2月5日定理11初等矩阵与初等变换的关系定理推论第18页，共53页，星期日，2025年，2月5日一、求矩阵的秩二、求解线性方程组三、求逆矩阵的初等变换法四、解矩阵方程的初等变换法典型例题第19页，共53页，星期日，2025年，2月5日求矩阵的秩有下列基本方法（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩．一、求矩阵的秩第20页，共53页，星期日，2025年，2月5日（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩．第一种方法当矩阵的行数与列数较高时，计算量很大，第二种方法则较为简单实用．第21页，共53页，星期日，2025年，2月5日例１求下列矩阵的秩解对施行初等行变换化为阶梯形矩阵第22页，共53页，星期日，2025年，2月5日第23页，共53页，星期日，2025年，2月5日注意在求矩阵的秩时，初等行、列变换可以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成阶梯形．第24页，