线性代数 矩阵地初等变换与线性方程组 习题课.ppt

* * * * * * * * * CH3 初等变换与方程组 线性代数 矩阵的初等变换与线性方程组 习题课 (1)?对调两行(对调i与j两行记为 ) (2)?以数 乘第i行的所有元素(记为 ) (3)把某一行所有元素的k倍分别加到另一行对应的元素上去(第j行k倍加到第i行上去,记 ). 一、矩阵的初等变换 2、矩阵A与B 等价 3、矩阵的化简: 可化为行阶梯形矩阵、行最简形矩阵、标准形。 1.任一矩阵都可经过初等行变换化成行阶梯矩阵； 2. 任一矩阵都可经过初等行变换化成行最简矩阵； 3.任一矩阵都可经初等变换化成标准型． 注: 4. A的标准型中的r由A确定. 1、定义 （一）内容概要 2.矩阵秩的性质 (4)行阶梯形矩阵的秩等于该矩阵非零行的行数． 设A: 型矩阵,则: (5)即矩阵经初等变换后其秩不变． 二、矩阵的秩及其求法 1、定义： A的秩就是A中最高阶非零子式的阶数.记作R(A)=r. 3.用矩阵的初等变换求矩阵的秩 一般方法： 1）将A用初等变换化为行阶梯形矩阵； 2）R(A)等于A的行阶梯形矩阵的非零行数。 n 阶方阶A的秩R( A )= n 方阵A可逆. 几个等价命题： 三、初等矩阵 1、定义：由单位矩阵经一次初等变换而得到的矩阵称为 初等矩阵. 分为三类,分别记为Eij、Ei（k）、 Eij（k）. 2、初等矩阵的性质： 1）初等矩阵都是可逆矩阵,并且其逆矩阵还是初等矩阵; 2）对A施行一次初等行变换的结果等于用一个相应的 初等阵左乘矩阵A;对A施行一次初等列变换的结果等于用一个相应的初等阵右乘矩阵A. 【推论1】设A是可逆矩阵,则： 【推论2】两个 型矩阵A、B等价的充要条件是:存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q,使PAQ=B. 并且：R(PA)=R(AQ)=R(PAQ)=R(A) 3、重要结论： A=P1P2…Pk. 【定理1】矩阵A可逆 存在有限个初等阵P1,P2,…,Pk，使: 四、初等变换的应用 1、用初等变换求逆矩阵的方法: 1)构造矩阵:(A E); 2)做初等行变换 注:也可用初等列变换求可逆矩阵的逆矩阵: 2.用初等变换解矩阵方程:AX=B(其中A可逆)的一般方法: 五、线性方程组的解 有解 无解 R(A)=n 有唯一解 R(A) n 有无穷多解 解非齐次线性方程组Ax=b的一般步骤为： ?(2) 对增广矩阵B施行初等行变换化为行最简矩阵； (3)由行最简矩阵写出同解方程组，取定自由未知量写出 方程组通解； ?(1) 对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，观 察R(A)= R(B) ， 若R(A)= R(B) ，转向2）步； 若R(A)≠R(B)，则方程组无解，解题完毕； AX=0 有非零解 ? r(A)n ； 设矩阵方程为： ，其中 为A的伴随矩阵，且 求矩阵X. 即： 而 解：由于 利用初等变换易得： 例1 （二）例题分析 例2 已知矩阵 的秩为2, 求 t 的值. 解： ? r(A)=2 ? 3 ? t =0, 即 t =3 例3 设线性方程组 的系数矩阵为A,三阶矩阵B≠O,且AB=O,试求a的值. 【解】由AB=O, B≠O得: 方程组Ax=0有非零解,R(A)3 例4 解 例5 设A是n阶矩阵,且A2=E, 证明R(A+E)+R(A-E)=n 所以R(A+E)+R(A-E)=n 证明：由A2=E得： 练习：设A为n阶方阵,E为n阶单位阵.满足A2+5A-4E=0 证明:( A-3E)可逆;并求( A-3E)-1 习题选讲 解(1)： 解(2)： 证： 解： P80-21 证： 例题 设A为m n阶矩阵，证明: 证： 三、自测题 (一)填空题 48 (二)选择题 3.若一个n阶方阵A的行列式值不为零，则对A进行若干 次矩阵的初等变换后，其行列式的值[ ] (A)保持不变; (B)可以变成任何值; (C)保持不为零; (D)保持相同的正负号 5.设A,B都是n阶非零矩阵,且AB=0,则A和B的秩是( ) (A)必有一个等于0 (B)都小于n (C) 一个小于是n,一个等于n (D)都等于n 7.当A等于( )时,