线性代数三矩阵的初等变换与线性方程组——3节.ppt

线　性　代　数 第三章　矩阵的初等变换与线性方程组 一、线性方程组有解的判定条件 二、线性方程组的解法 三、小结 思考题 思考题解答 * * 问题： 证 必要性. ( ) , , n D n A n A R 阶非零子式 中应有一个 则在 设 = ( ) , 根据克拉默定理 个方程只有零解 所对应的 n D n 从而 这与原方程组有非零解相矛盾， ( ) . n A R 即 充分性. ( ) , n r A R = 设 . 个自由未知量 从而知其有 r n - 任取一个自由未知量为１，其余自由未知量为０， 即可得方程组的一个非零解 . 证 必要性． , 有解 设方程组 b Ax = ( ) ( ) , B R A R 设 则B的行阶梯形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程０＝１， 这与方程组有解相矛盾 . ( ) ( ) . B R A R = 因此 并令 个自由未知量全取0， r n - 即可得方程组的一个解． 充分性. ( ) ( ) , B R A R = 设 ( ) ( ) ( ) , n r r B R A R ￡ = = 设 证毕 其余 个作为自由未知量, 把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量, 小结 有唯一解 b Ax = ( ) ( ) n B R A R = = ? ( ) ( ) n B R A R = ? 有无穷多解. b Ax = 齐次线性方程组：系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解； 非齐次线性方程组：增广矩阵化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解．若有解，化成行最简形矩阵，便可写出其通解； 例1 求解齐次线性方程组 解 即得与原方程组同解的方程组 由此即得 例２ 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵B进行初等变换， 故方程组无解． 例３ 求解非齐次方程组的通解 解 对增广矩阵B进行初等变换 故方程组有解，且有 所以方程组的通解为 例４ 解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为 由于原方程组等价于方程组 由此得通解： 例５ 设有线性方程组 解 其通解为 这时又分两种情形： ( ) ( ) n B R A R = = ? ( ) ( ) n B R A R = ? 有无穷多解. b Ax = 非齐次线性方程组 齐次线性方程组