线性代数矩阵的初等变换与线性方程组.PPT

第二步：写出等价的(独立的)方程组，保留第一个未知数在左边其余的移到右边，移到右边的称为自由变量。 问：自由变量的个数 = 即未知数的个数减去独立方程的个数。 问：何时有唯一解？何时有无穷多解？ 当出现自由变量时，令自量为任意数就可得到无穷多解，当没有自由变量时有唯一解。即当 时，有无穷多解，当 时有唯一解。 第三步：令自由变量为任意实数，写出通解。再改写为向量形式。 令 通解 即 对于非齐次方程组 如果 ，则无解； 如果 ，则有解； 当 时，有唯一解； 当 时，有无穷多解. 非齐次方程组解的判别定理 对于非齐次方程组 当 时，有唯一的零解； 当 时，有无穷多解，即有非零解。 齐次方程组解的判别定理 例2 (P73 例9) 求解齐次线性方程组 解 对系数矩阵A施行初等行变换化为最简阶梯形: 设 A 是可逆矩阵,则A-1也是可逆矩阵,由推论2，A-1 可分解为初等矩阵的乘积： 把上式用左行右列原则看又得： A 可逆的充要条件是 . 推论3 思考: A 与 B 等价(即 )的充要条件是存在可逆矩阵 P 和 Q 使得 推论4 根据以上分析， (1) 用可逆矩阵P左乘矩阵A , 相当于对A作了一系列的初等行变换，反之…. (2) 用可逆矩阵Q右乘矩阵A , 相当于对A作了一系列的初等列变换，反之…. 设 即有初等矩阵 使得 问 作一次行变换 再作一次行变换 继续… 考虑对 作行变换 求逆矩阵的初等变换法 例3 （把第1节解方程组的题重做） 记为 的解 回忆第 1 节用 Gauss 消元法是这样做的: 直接就得到方程组的解，而且更简单。 这实际上是把求 和计算 合并完成了。 再看看求逆的原理： 换成 b 如何？ 矩阵方程 AX=B (假设 A 可逆)，如何求解？ 方法一：先求 ，再计算 方法二： 则 方法一：求 ，再计算 XA=B (假设 A 可逆) ？ 方法二： 例3 解矩阵方程 解  第三章 矩阵的初等变换与线性方程组的解 §3.4 线性方程组的解 §3.3 矩阵的秩 §3.2 初等矩阵 §3.1 矩阵的初等变换 §3.3 矩阵的秩 在矩阵 的等价标准形中 数 r 由 A 惟一确定,它也是 A 的阶梯形矩阵的非零行数，称之为矩阵 A 的秩。这个数特别重要： 例如, 设 A 是 n 阶的方阵, 如果 r = n ,则 A 可逆, 否则 r n，则 A 不可逆. 再如，对方程组 Ax = b ,增广矩阵的秩就是独立方程的个数。 在矩阵 A 中, 任取 k 行 k 列, 位于这些行列交点上的元素按原次序构成的 k 阶行列式, 称为 A 的 k 阶子式. 定义 例如 等等, 它们都是二阶子式. 等等, 它们都是三阶子式. 每一个元素都是一阶子式. 矩阵A的非零子式的最高阶数, 称为A的秩, 记做r(A).规定:零矩阵的秩是零. 定义 例如 回答下面问题： (2) m×n 的矩阵 A , 其秩最大可能是? r(A)≤min(m, n) (3) A 有一个 r 阶子式不为零,其秩至少是? r(A)≥r (4) A 有一个 r 阶子式不为零, 且所有 r + 1 阶都等于零, 所有 r + 2 子式都等于 , A 的秩等于 如果 A 的所有 r 阶子式都等于零, A 的秩最大可能是 。 (5) r(A) ? = r(AT) 零 r (6) A为 n 可逆矩阵的充要条件是 r(A) = r(A) = r(AT) n (7) A = O 的充要条件是 r(A) = 0 r－1 (1) 矩阵的秩是否惟一? 当然惟一 满秩矩阵 初等变换不改变矩阵的秩。 设 r(A)=r 且 (1) 证 例如 从而，r(B)≥r(A)，又第一种初等行变