第三章 矩阵的初等变换与线性方程组.doc

线性代数教案　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　信息与数学学院数学与应用数学教研室 PAGE PAGE 3 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵 教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法． （3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质． 教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程 §1 矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换 在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 ② 数乘 ③ 倍加 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. 经过初等变换得到, 记作． 定义2 等价矩阵：若, 称与等价, 记作． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性： (2) 对称性： (3) 传递性：, 定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵. 例1 设，利用初等行变换化为行最简形矩阵. 解 行最简形： 标准形： §2 初等矩阵 定义4 对单位矩阵进行一次初等变换得到的矩阵, 称为初等矩阵． 三种初等变换对应着三种初等矩阵. 1. 2. 3. 设 性质1 , , 由此可得：对进行一次初等行变换, 相当于给左乘一个同类型的初等矩阵. 性质2 注意： 因此可得：对进行一次初等列变换, 相当于给右乘一个同类型的初等矩阵． 　 性质3 , , , 定理1 可逆可以表示为有限个初等矩阵的乘积． 证 必要性 已知, 则满秩, 故存在初等矩阵 及, 使得 , 而与都是初等矩阵． 充分性 设，因初等矩阵可逆，有限个可逆矩阵的乘积仍可逆，故可逆. 定理2 设,, 则存在可逆矩阵和, 使得． 证 必要性 已知, 则存在阶初等矩阵和阶, 使得, 令 ,则有． 充分性 已知, 则由定理1知, 和都可以表示为有限个初等矩阵的乘积, 即 , 故, 也就是． 由此可得矩阵求逆方法之二（初等行变换法） （都是初等矩阵） 由此可得：对矩阵 施行“初等行变换”，当前列（的位置）成为时，则后列（的位置）为． 例2 设 . 用初等变换法求 解 故． 设，试用初等变换法求 解 依次作初等行变换 , , 可得 故 ． 例4 判断方阵是否可逆.若可逆，求 解 因为，所以，故不可逆，即不存在. [注] 此例说明，从用初等变换求逆矩阵的过程中，即可看出逆矩阵是否存在，而不必先去判断. 例5 解矩阵方程，其中 ，. 解 思考与作业： 习题三 P79:1(1)(4)4, 5 讲授内容§3.3 矩阵的秩 教学目的和要求：通过对矩阵的秩的定义及求法的了解，使学生明白矩阵的秩在矩阵理论中重要性．理解矩阵的秩的概念，掌握用初等变换求矩阵的秩. 教学重点：矩阵的秩. 教学难点：理解矩阵