第三章矩阵的初等变换和线性方程.doc

WORD文档下载可编辑 专业资料分享 3.1 HYPERLINK \l 内容 基本内容 3.2 HYPERLINK \l 例题 典型例题分析 第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 3.1 基本内容 3.1.1 矩阵的初等变换 矩阵的初等变换是一种十分重要的运算方法，它在解先行方程组、求逆矩阵及矩阵理论的探讨中都有重要的作用 下面三种变换称为矩阵的初等行变换： 对调两行（对调两行，记着）； 以数乘某一行中的所有元素（第行乘，记着） 把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去（第行的倍加到第行，记着） 把定义中矩阵的行换成列，即得矩阵的初等列变换的定义（所用记号把换成），矩阵的初等行变换和初等列变换统称初等变换。初等变换都是可逆的，且其逆变换仍是同一类的初等变换。 如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B，就称矩阵A与矩阵B等价，记着 矩阵之间的等价关系满足下列性质： 反身性 ； 对称性 若，则 ； 传递性 若，，则 . 3.1.2 初等矩阵 由单位矩阵E经过一次初等变换后所得的矩阵称为初等矩阵。 三种初等变换对应着三种初等矩阵 第列 第列 第行 经验证，可得下述定理 设A是一个矩阵，对A施行一次初等行变换，相当于在A的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对A施行一次初等列变换，相当于在A的右边乘以相应的 阶初等矩阵 设A是可逆矩阵，则存在有限个初等矩阵，使得A= 证明 因为，所以E经过有限次初等变换可变成A，即则存在有限个初等矩阵，使得 即，得证。 推论 矩阵的充要条件是：存在着阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使得 根据此定理，可得到一种求逆矩阵的方法： 由 ， 有 及 即 即对阶矩阵施行初等行变换，把A变成E时，原来的E就变成 3.1.3 矩阵的秩 在矩阵A中，任取行列（）位于这些行列处交叉处的个元素，不改变它们在A中所处的位置秩序而得的阶行列式，称为A的阶子式。 设在矩阵A中有一个不等于0的阶子式D，且所有阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D称为矩阵A的最高阶非零子式，数称为矩阵A的秩，记着 注 零矩阵的秩规定为0 3.1.4 线性方程组的解 利用方程组的系数矩阵A和增广矩阵B的秩，可以方便的讨论线性方程组的解 元齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数矩阵的秩。 元非齐次线性方程组有解的充要条件是系数矩阵的秩 等于增广矩阵B=的秩，即 3.2 典型例题分析 HYPERLINK \l _top 返回 例1 求解方程组 解 对应的增广矩阵为 = = = = = 对应方程组 取为自由未知量，令，即得 = 其中为任意常数。 对于任意的矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 F= 例2 求矩阵A与B的秩 A= B= 解 在A中，有一个2阶子式，其3阶子式，所以 =2。 B是一个阶梯形矩阵，其非零行有3行，因此 若，则= 例3 设矩阵A= 求矩阵A的秩，并求A的一个最高阶非零子式。 解 对A作初等变换，化为阶梯形矩阵： A= 因为行阶梯形矩阵有3个非零行，所以=3 对应于阶梯形矩阵，在A中有 所以这个子式便是A的一个最高阶非零子式。 例4 设矩阵 ，求逆矩阵 解 所以 = 例5 求解齐次线性方程组 解 对系数矩阵A施行初等行变换，化为行最简形矩阵： A= 由此可得与原方程同解的方程组 可任意取值） 令，即得 其中为任意常数，写成向量为 = = 例6 求解非齐次线性方程组 ‘ 解 对增广矩阵（A b）施行初等行变换，化为行最简形矩阵： （A b） = ，所以方程组无解。 例7 求解非齐次线性方程组 解 对增广矩阵（A b）施行初等行变换 （A b） =