线性代数齐次线性方程组的解法.ppt

第五节 齐次线性方程组的解法 齐次线性方程组解的性质 一.齐次线性方程组解的性质 设有齐次线性方程组  二、基础解系及其求法 三、小结 * * 基础解系及其求法 （1 写成矩阵形式为 其中 为（1）的系数矩阵， １．解向量的概念 称为方程组（1）的解向量，亦即方程组（1）的解。 ２．齐次线性方程组解的性质 （1）若 为 的解，则 也是 的解. 证明 　　（2）若 为 的解， 为实数，则 　　　 也是 的解． 证明 证毕. １．基础解系的定义 如果 解系 的基础 称为齐次线性方程组 , 0 , , , 2 1 = Ax t h h h L ; 0 , , , ) 1 ( 2 1 的解 的一组线性无关 是 = Ax t h h h L ２．线性方程组基础解系的求法 定理　若齐次线性方程组的系数矩阵A的秩 R(A)=rn(未知量的个数），则（1）必有基础解系； 且基础解系中含有n-r个解向量. 证明 因R(A)=rn,则A可经有限次初等行变换和列 的换法变换化为B型阵,即 ． 现对 取下列 组数： 依次得 从而求得原方程组的 个解： 　　下面证明 是齐次线性方程组(1)的一 个基础解系． 由于 个 维向量 线性无关， 所以 个 维向量 亦线性无关. 由于 是 的解 故 也是 的 解. . , , , ) 2 ( 2 1 线性无关 证明 n x x x L 所以 是齐次线性方程组(1)的一个基础解系. 注意 １.基础解系是不唯一的． 　　2．若 是 的基础解系，则 其通解为 . , , , 2 1 是任意常数 其中 r n k k k - L (3)对齐次线性方程组 ： , , , , , , , , , ) ( 1 2 2 1 1 2 1 k k k k k x r n n r A R r n r n r n r n + + + = - = - - - - L L L x x x x x x 为任意实数. 其中 方程组的解可表示为 此时 基础解系 个向量的 方程组必有含 时 当 当R(A)=n时，方程组只有零解，此时无基础解系； 例1 求齐次线性方程组 的基础解系与通解. 解 　　对系数矩阵 作初等行变换，化为阶梯型矩 阵，有 例2 解线性方程组 解 对系数矩阵施 行初等行变换 即方程组有无穷多解， 其基础解系中有三个线性无关的解向量. *