线性代数齐次方程组解法.doc

D= 按第一列展开，再将各列的公因子提出来 D= =(a2－a1)(a3－a1)…(ak－a1) 得到的k－1阶范德蒙德行列式，由归纳假设知其值为 于是 D=(a2－a1)(a3－a1)…(ak－a1)= 因此，对于任意正整数n≥2，范德蒙德行列式的展开式都成立。 证毕 例1.14 计算n阶三对角行列式： Dn= 解 由行列式的性质1.4，将Dn的第一列的每个元看成两个元之和，得 Dn=+ 第一个行列式按第一列展开；第二个行列式从第一行开始依次加到下一行，得 Dn=Dn－1+=Dn－1+1 反复利用上面的递推公式，得到 Dn=Dn－1+1=Dn－2+2=…=D1+n－1=2+n－1=n+1 例1.15 计算n阶行列式 Dn= (ai≠b, i=1,2,…,n) 解 对于这个行列式，采用一种“加边”的技巧。 Dn= 第一行乘以（－1）加到其他各行上去，得 Dn= 第二列乘以加到第一列上去，第三列乘以加到第一列上去，依次类推，最后一列乘以加到第一列上去，得到 Dn= = 1.4 行列式的应用 1.4.1 克拉默法则 本小节以行列式为工具，研究解线性方程组的问题。设n个未知量n个方程的线性方程组为 （1.18） 简记为 =bk (k=1,2,…,n) （1.19） 它的系数构成的行列式 D= (1.20) 称为方程组（1.18）的系数行列式。 定理1.7 如果方程组（1.19）的系数行列式不为零，则该方程组有唯一解： x1=, x2=, …, xn= (1.21) 这里Dj(j=1,2,…,n)是把方程组的常数项b1,b2,…,bn依次替换系数行列式中的第j列元所得到的n阶行列式。 通常称这个定理为克拉默（G.Cramer）法则。 证明 取正整数1,2,…,n中任意一个为j，以A1j,A2j,…,Anj分别乘以方程组中第一，第二，…，第n个方程，然后相加，得 ()x1+()x2+…+()xj+…+()xn = (1.22) 由性质1.13可知，方程左边xj的系数为D，而其它的xi的系数为零；方程右边恰好是用b1,b2,…,bn依次替换D中第j列每个元所得到的行列式Dj，因此有 Dxj=Dj 令j=1,2,…,n，就得到方程组 Dx1=D1, Dx2=D2,…,Dxn=Dn (1.23) 显然方程组（1.18）的解是（1.23）的解，而当D≠0时，方程组（1.23）有惟一解： x1=, x2=, …, xn= （1.24） 因此，方程组（1.18）最多有一组解。 将（1.24）代入（1.18）的第i个方程，得 =()==bi (i=1,2,…,n) 则（1.24）的解是（1.18）的解。而且是唯一解。 证毕 例1.16 解线性方程组 解 系数行列式 D = = 196 由于系数行列式不为零，所以可以使用克拉默法则，方程组有唯一解。此时 D1= = －54 D2= = 38 D3= = 80 则有 用克拉默法则解一个有n个未知量、n个方程的线性方程组，需要计算n+1个n阶行列式，这样的计算量通常是相当大的，但克拉默法则在理论上具有重要意义。 1.4.2 拉普拉斯定理 行列式按任意一行（列）展开的方法可以推广到按若干行（列）展开。行列式按若干行（列）的展开式称为拉普拉斯展开式。 在n阶行列式D中任选k行和k列，位于这些行、列交叉处的元按原来顺序排成一个k阶行列式M，称为行列式D的k阶子式；而划去这k行k列后，剩余的元按原来的顺序排列成的n－k阶行列式N，称为M的余子式；如果k阶子式在D中所在的行、列的序号依次为，i1,i2,…,ik,j1,j2,…,jk,则把 称为M的代数余子式。 例如 D= 从中取第二、三行，第一、三列，交叉处元组成一个二阶子式，记为M；M的余子式记为N，具体写出来就是： M= N= M的代数余子式为（－1）2+3+1+3N=－N 定理1.8 在n阶行列式中任取k行（列），则由这k行（列）的元所组成的所有的k阶子式与它的代数余子式的乘积之和，等于行列式的值。 通常把这个定理称为拉普拉斯（Laplace）定理，证明从略。 例1.17 利用拉普拉斯定理将下面的行列式按第一、二两行展开 D= 解 D中由第一、二两行的元组成的二阶子式共有六