西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第5章习题课.ppt

例7 设矩阵 求 A 的特征值与特征向量. 解 A 的特征多项式为 所以，A 的特征值为 当 时, 解方程组 即 解之得基础解系为 所以 是对应于 的全部特征向量; 当 时, 解方程组 即 解之得基础解系为 所以 是对应于 的全部特征向量; 当 时, 解方程组 即 解之得基础解系为 所以 是对应于 的全部特征向量. 例8　设A为正交阵，且　　　　，证明 是A的特征值。 例9 设有矩阵 (1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆 矩阵 P 和对角矩阵 ? , 使 P-1AP = ? . (2) 使 P-1AP = ? 成立的 P , ? 是否唯一， 举例说明. （1） 矩阵 A 的特征多项式为 解 当 时, 解方程组 即 所以 A 的三个特征值分别为: 解之得基础解系为 所以 是对应于 的特征向量. 当 时, 解方程组 即 解之得基础解系为 所以 是对应于 的特征向量. 当 时, 解方程组 即 所以 是对应于 的特征向量. 解之得基础解系为 因为 线性无关 即三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量, 所以 令 则 矩阵 A 可对角化. 此时 且有 P-1AP = ? . （2） 使 P-1AP = ? 成立的 P , ? 不唯一. 如 若取 则 此时 亦有 P-1AP = ? . 例 10 设 A 为 n 阶对称的正交矩阵, 且 1 为 A 的 r 重特征值. (1) 求 A 的相似对角矩阵; (2) 求 | A - 3E |. (1) 由于 A 为 n 阶对称的正交矩阵, 故 重特征值, 因而 A 的相似对角矩阵为 由于 1 为 A 的 r 重特征值, 故 -1 为A的 n - r A必能相似于对角矩阵, 且 解 (2) 由 (1) 可知, A 的特征多项式为 | A - ?E | = (1 - ? )r (1 + ? )n-r , 故 | A - 3E | = (1 - 3 )r (1 + 3 )n-r = (-1)r 22n - r . A = diag(1 , ··· , 1, -1 , ··· , -1). r 个 (n - r) 个 例 11 设 求 An . 解 因 A 对称，故 A 可对角化，即有可逆 矩阵 P 及对角阵 ?，使 P-1AP = ? . 于是 A = P?P-1 ， 从而 An = P?nP-1 . 由 得 A 的特征值 ?1 = 1， ?2 = 3 . 于是 当 ?1 = 1 时， 解方程 (A – E )x = 0，即 得 当 ?2 = 3 时， 解方程 (A – 3E )x = 0，即 得 令 再求出 于是 A = 三阶矩阵的判定模型 例12 四阶矩阵的判定模型 A ＝ 三个顺序主子式分别计算如下： 结论： 不定 四个顺序主子式分别计算如下： 结论： 不定 |E + A| = (?1+ 1)(?2 + 1) ··· (?n + 1)1 . 例 13 设 f(x1 , x2 , ··· , xn) = xTAx 为正定二 次型, 证明: |E + A| 1. 因为 f 为正定二次型, 所以 A 的特征 值全大于零, 即 ?1 0, ?2 0, ··· , ?n 0 . 而 E + A 的特征值为 ?1+ 1, ?2 + 1, ··· , ?n + 1, 故 证毕 证明 证明：二次型f=xTAx在 时的最大值为矩阵A的 最大特征值。 证明：对称阵A为正定的充分必要条件是：存在可逆 矩阵u，使A=UTU，即A与单位阵E合同。 知 识 要 点 一、内容提要 1. 向量的内积 (1) 定义1 设有 n 维向量 x = (x1 , x2 , ··· , xn)T , y = (y1 , y2 , ··· , yn)T, 令 [x, y] = x1y1 + x2y2 + ··· + xnyn 称为向量 x 与 y 的内积. 内积满足下列运算规律: (i) [x, y] = [y, x]; (ii) [?x, y] = ?[x, y]; (iii) [x + y, z] = [x,z] + [y,