西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第4章向量习题课.ppt

则 ?1 , ?2 为方程组 Ax = 0 的解,且 ?1 , ?2 线性无 关, 所以 ?1 , ?2 即为方程组 Ax = 0 的基础解系. 则可得方程组 (2) 方程组 Ax = b 的通解为 (3) 因为 所以满足条件的方程组 Ax = b 的保留方程组只有1个方程, 设为 解之得 d 为任意常数. 故所求方程为 例12. 已知三维向量组: 问 t 为何值时, (1) ? 可由 ?1 , ?2 , ?3 线性表示, 且表达式是唯 一的, 并求出表达式. (2) ? 可由?1 , ?2 , ?3线性表示,但表达式不唯一. (3) ? 不能由 ?1 , ?2 , ?3 线性表示. 设 ? ? k1?1 + k2?2 + k3?3 则可得关于 k1 , k2 , k3 的线性方程组 解 则本题的三个问题可转化为以下的三个等价问题: (1) t 取何值时, 方程组有唯一解; (2) t 取何值时, 方程组有无穷多解; (3) t 取何值时, 方程组无解. 方程组的增广矩阵 B 为 对增广矩阵 B 进行初等行变换得 行 变 换 由此可知 (1) 当 时, 该方程组有唯 一解, 即 ? 可由 ?1 , ?2 , ?3 线性表示, 且表达式唯 这时方程组可化简为 一. 解之得 即 (2) 当 时, 所以此时 方程组有无穷多解, 即 ? 可由 ?1 , ?2 , ?3 线性表 (3) 当 时, 因为 无解, 即 ? 不能由 ?1 , ?2 , ?3 线性表示. 所以此时方程组 示, 但表达式不唯一. 于是 R(A) + R(B) ≤ n . 个线性无关的向量. 由于 AB = O , 故 B 的所有列向 量都是 Ax = 0 的解向量, 因此 B 的列向量中线性 无关的向量个数不会超过 n - R(A), 此即 R(B) ≤ n - R(A), 证明 证毕 例13. 设 A 为 m ? n 矩阵, B 为 n ? s 矩阵, 若 AB = O, 试证: R(A) + R(B) ≤ n. 方程组 Ax=0 的基础解系中恰有 n - R(A) 表出, 设 R(A) = r , R(B) = s , 则 A 有 r 个线性无关的行向量, 设为 ?1 , ?2 , ··· , ?r ; B 有 s 个线性无关的行向量, 设为 ?1 , ?2 , ··· , ?s ; 且 A 的任一行向量均可由 ?1 , ?2 , ··· , ?r 线性表 出, B 的任一行向量也均可由 ?1 , ?2 , ··· , ?s 线性 证明 例14. 设 A，B 均是 m ? n 矩阵, 证明: R(A + B) ≤ R(A) + R(B) . 所以 R(A + B) ≤ R(C), 而 R(C) ≤ r + s = R(A) + R(B) , 即 R(A + B) ≤ R(A) + R(B) . 因此 A + B 的任一行向量可由向量组 C : ?1 , ?2 , ··· , ?r , ?1 , ?2 , ··· , ?s 线性表出, 证毕 R(A) + R(A - E) ≤ n. 又 R(A) + R(A - E) = R(A) + R(E - A) ≥ R(A + E - A) 　　　因为 A(A - E) = A2 - A = O, 故由 知 综合此两个不等式便得 R(A) + R(A - E) = n. = R(E) = n . 证明 例15. 设 n 阶方阵 A 满足 A2 = A, 试证: R(A) + R(A - E) = n . n - R(AB) , 故 若 x 是方程 Bx = 0 的解, 则它也必 是方程 ABx = 0 的解, 所以 Bx = 0 的解空间是 ABx = 0 的解空间的子空间. 而 Bx = 0 的解空间 的维数为 n - R(B) , ABx = 0 的解空间的维数为 证明 例 16. 设 A 是 m ? k