西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 秩.ppt

求向量组的秩 解 ( ) 为阶梯形 化 行变换 作初等 对 作矩阵 A A A , , 5 4 3 2 1 a a a a a = 矩阵秩的概念 定理 行阶梯形矩阵的秩等于非零行的行数． 　矩阵秩的性质及定理 推论 1 2 3 4 5 6 　　（１）计算矩阵的各阶子式，从阶数最高的 子式开始，找到不等于零的子式中阶数最大的一 个子式，则这个子式的阶数就是矩阵的秩． 求矩阵的秩的方法 　　（２）用初等变换．即用矩阵的初等行（或 列）变换，把所给矩阵化为阶梯形矩阵，由于阶 梯形矩阵的秩就是其非零行（或列）的个数，而 初等变换不改变矩阵的秩，所以化得的阶梯形矩 阵中非零行（或列）的个数就是原矩阵的秩． 例１　求下列矩阵的秩 解　对　 施行初等行变换化为阶梯形矩阵 　　注意　在求矩阵的秩时，初等行、列变换可 以同时兼用，但一般多用初等行变换把矩阵化成 阶梯形． 向量组与矩阵 向量组 , , …， 　称为矩阵A的行向量组． 反之，由有限个向量所组成的向量组可以构成一个矩阵. 线性方程组的向量表示 方程组与增广矩阵的列向量组之间一一对应． 　　若干个同维数的列（行）向量所组成的集合 叫做向量组． 定义 线性组合 定义 线性表示 定理 定义 定义 线性相关 定理 定理 定义 向量组的秩 等价的向量组的秩相等． 定理 　　 矩阵的秩等于它的列向量组的秩，也等于 它的行向量组的秩． 定理 　　　设向量组B能由向量组A线性表示，则向量 组B的秩不大于向量组A的秩． 推论１ 推论２ 推论３（最大无关组的等价定义） 　　设向量组　是向量组　的部分组，若向量组 　线性无关，且向量组　能由向量组　线性表示， 则向量组　是向量组　的一个最大无关组． 向量组线性关系的判定 方法1　从定义出发 整理得线性方程组 方法２　利用矩阵的秩与向量组的秩之间关 　　　　系判定 例2　研究下列向量组的线性相关性 解一 整理得到 解二 求向量组的最大无关组 事实上