西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 习题课2.ppt

例4. 设有线性方程组 问 k 取何值时，此方程组 (1) 有唯一解；(2) 无解; (3) 有穷多个解？并在有无穷多解时求其通解. 解法一 初等行变换法 对增广矩阵 B = (A , b) 作初等行变换把它变为 行阶梯形矩阵，有 由此可得： (1) 当 k ? 0 且 k ? -3 时， R(A) = R(B) = 3，方 程组有唯一解； (2) 当 k = 0 时， R(A) = 1，R(B) = 2，方程组 无解； (3) 当 k = -3 时， R(A) = R(B) = 2，方程组有 无穷多个解. 这时 B ~ r ~ r ~ r 由此可求得通解为 解法二 行列式法 因为系数矩阵 A 为方阵，故方程组有唯一解 的充要条件是系数行列式 | A | ? 0 . (3 + k)k2 , 由此可得： (1) 当 k ? 0 且 k ? -3 时， | A | ? 0，方程组有 唯一解； (2) 当 k = 0 时， | A | = 0 ，方程组的增广矩阵 ~ r 由此可知， R(A) = 1，R(B) = 2，故方程组无解; (3) 当 k = -3 时， | A | = 0，方程组的增广矩阵 ~ r 由此可知， R(A) = R(B) = 2，故方程组有无穷多个 解，且通解为 三、求逆矩阵的初等变换法 例5　求下述矩阵的逆矩阵． 解 　　注意　用初等行变换求逆矩阵时，必须始终 用行变换，其间不能作任何列变换．同样地，用 初等列变换求逆矩阵时，必须始终用列变换，其 间不能作任何行变换． 四、解矩阵方程的初等变换法 或者 例6 解 练习题 一、填空题． 1．若　元线性方程组有解，且其系数矩阵的秩为 　，则当　　时，方程组有唯一解；当　　时，方 程组有无穷多解． 2．齐次线性方程组 只有零解，则　应满足的条件是　　　　． 4．线性方程组 有解的充要条件是 二、计算题 当k为何值，可使R(A) = 1， R(A) = 2， R(A) = 3。 1. 2. 设有线性方程组 解 其通解为 这时又分两种情形： 三、利用矩阵的初等变换，求下列方阵的逆矩阵 四、证明题(每小题8分，共16分) (每小题7分，共14分)． 六．求解下列线性方程组 有唯一解、无解或有无穷多解？在有无穷多解时， 求其通解． 测试题答案 知 识 要 点 一、内容提要 1. 矩阵的初等变换 (1) 定义 定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换 : (i) 对调两行 ( 对调 i , j 两行, 记作 ri ? rj ); (ii) 以数 k ? 0 乘某一行中的所有元素(第 i 行乘 k , 记作 ri × k); (iii) 把某一行所有元素的 k倍加到另一行上去 (第 j 行的 k倍加到第 i 行上, 记作 ri + krj). 定义 2 下面三种变换称为矩阵的初等列变 换 : (i) 对调两列 ( 对调 i , j 两列, 记作 ci ? cj ); (ii) 以数 k ? 0 乘某一列中的所有元素(第 i 列 乘 k , 记作 ci × k); (iii) 把某一列所有元素的 k倍加到另一列上去 (第 j 列的 k倍加到第 i 列上, 记作 ci + kcj). 定义 3 矩阵的初等行变换与初等列变换,统 称为矩阵的初等变换. 定义 4 如果矩阵 A 经有限次初等变换变成 矩阵 B , 则称矩阵 A 与 B 等价, 记作 A ~ B. 定义 5 满足下面两个条件的矩阵称为行阶 梯形矩阵: (i) 非零行(元素不全为零的行)的标号小于 零行(元素全为零的行)的标号; (ii) 设矩阵有 r 个非零行, 第 i 个非零行的第 一个非零元素所在的列号为 ti (i =1 , 2 , ··· , r ), 则 t1 t2 ··· tr . 定义 6 若矩阵满足 (i) 每个非零行的第一个非零元素为1; (ii) 每个非零行的第一个非零元素所在的列 的其他元素全为零, 则称该矩阵为行最简形矩阵. 定义 7 如果一个矩阵的左上角为单位矩阵, 其他位置的元素都为零, 则称这个矩阵为标准形 矩阵. (2) 性质 定理 1 矩阵的等价关系有下列性质: