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西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第5章相似矩阵.ppt

发布:2022-01-15约5.49千字共74页下载文档
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显然, p1 , p2 , p3 两两正交, 现把它们单位化. 令 再令 则 P 为正交矩阵, 且有 方法评注 在求正交矩阵 P 把对称矩阵 A 对角化时, 若 A 有重特征值,在求该重特征值对应的 特征向量时,可直接求出正交的特征向量, 这样可避免正交化过程,从而简化计算. 设特征值 3 对应的特征向量为 值所对应的特征向量正交, 故 即 x 的各分量是上面的齐次线性方程组的非零解. 求得这个方程组的基础解系为 x = (x1 , x2 , x3)T , 由于实对称矩阵的不同的特征 解 例 3 求一个三阶实对称矩阵 A, 它的特征 且特征值 6 对应的一个特征向量为 值为 6 , 3 , 3, 取 p2 , p3 为特征值 3 对应的两个线性无关 的特征向量, 并令 则 因而 例 4 设 A 为 n 阶对称的正交矩阵, 且 1 为 A 的 r 重特征值. (1) 求 A 的相似对角矩阵; (2) 求 | A - 3E |. (1) 由于 A 为 n 阶对称的正交矩阵, 故 重特征值, 因而 A 的相似对角矩阵为 由于 1 为 A 的 r 重特征值, 故 -1 为A的 n - r A必能相似于对角矩阵, 且 解 (2) 由 (1) 可知, A 的特征多项式为 | A - ?E | = (1 - ? )r (1 + ? )n-r , 故 | A - 3E | = (1 - 3 )r (1 + 3 )n-r = (-1)r 22n - r . A = diag(1 , ··· , 1, -1 , ··· , -1). r 个 (n - r) 个 例 5 设 求 An . 解 因 A 对称,故 A 可对角化,即有可逆 矩阵 P 及对角阵 ?,使 P-1AP = ? . 于是 A = P?P-1 , 从而 An = P?nP-1 . 由 得 A 的特征值 ?1 = 1, ?2 = 3 . 于是 当 ?1 = 1 时, 解方程 (A – E )x = 0,即 得 当 ?2 = 3 时, 解方程 (A – 3E )x = 0,即 得 令 再求出 于是 练习 设 求正交矩阵 P , 使 P-1AP 为对角矩阵. 逆阵 相似矩阵 练习 设有矩阵 (1) 问矩阵 A 是否可对角化, 若能, 试求可逆 矩阵 P 和对角矩阵 ? , 使 P-1AP = ? . (2) 使 P-1AP = ? 成立的 P , ? 是否唯一, 举例说明. (1) 矩阵 A 的特征多项式为 解 当 时, 解方程组 即 所以 A 的三个特征值分别为: 解之得基础解系为 所以 是对应于 的特征向量. 当 时, 解方程组 即 解之得基础解系为 所以 是对应于 的特征向量. 当 时, 解方程组 即 所以 是对应于 的特征向量. 解之得基础解系为 因为 线性无关 即三阶矩阵 A 有三个线性无关的特征向量, 所以 令 则 矩阵 A 可对角化. 此时 且有 P-1AP = ? . (2) 使 P-1AP = ? 成立的 P , ? 不唯一. 如 若取 则 此时 亦有 P-1AP = ? . 练习 设 问 x 为何值时,矩阵 A 能对角化? 解 得 对应单根 ?1 = -1 ,可求得线性无关的特征 向量恰有一个, 是对应重根 ?2 = ?3 = 1 ,有两个线性无关的特 征向量, 的解,亦即系数矩阵 A – E 的秩 R(A – E) = 1 . 由 初等行变换 得 x = -1 时, R(A – E) = 1 ,矩阵 A 能对角化. 故矩阵 A 可对角化的充要条件 即方程 (A – E ) x = 0 有 2 个线性无关 逆阵 欢迎各位专家评委批评指正 谢谢大家 而有的就不能找到 n 个线性无关的特征向量. 上一节我们讨论了矩阵能对角化的充要条 件: n 阶方阵 A 能对角化的充要条件是 A 有 n 个 线性无关的特征向量. 通过前面的学习我们知道, 有的 n 阶方阵能找到 n 个线性无关的特征向量, 一、问题的提出 第 四 节 对称矩阵的相似矩阵 定理 5 对称矩阵的特征值为实数. 础解系, 所以对应的特征向量可以取实向量. 显然, 当特征值 ? 为实数时, 齐次线性方程组 (A - ?E)x = 0 是实系数方程组, 由 | A - ?E
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