西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 矩阵及其运算.ppt

例 7 已知 求 (AB)T . 解法 1　先乘积后转置 所以 因为 解法 2　先转置后乘积 (AB)T = BTAT 例 8 设 A 为 n×1 矩阵, 且 ATA = 1, En 为 n 阶单位矩阵, B = En - 2AAT , 证明: B 为对称矩阵, 且 B2 = En . 由于 BT = (En - 2AAT)T = En - (2AAT)T = En - 2(AT)TAT = En - 2AAT = B, 因而矩阵 B 为对称矩阵. B2 = (En - 2AAT)(En - 2AAT) = En -2AAT -2AAT + 4AATAAT = En -2AAT -2AAT + 4A(ATA)AT = En . 证明 又 证毕 七、方阵的行列式 1. 定义 定义 6 由 n 阶方阵 A 的元素所构成的行列 式(各元素的位置不变), 叫做方阵 A 的行列式, 记 作 |A| 或 det A . 方阵与行列式是两个不同的概念, n 阶 方阵是 n2 个数按一定方式排成的数表, 而 n 阶行 列式则是这些数 ( 也就是数表 A ) 按一定的运算法 则所确定的一个数. 注意 2. 运算规律 设 A, B 为 n 阶方阵, ? 为数, 则有 (1) |AT| = |A| ; (2) |?A| = ?n |A| ; (3) |AB| = |A| |B| . 注意 (2) 说明一个数乘以方阵所得方阵的行列式等 于这个数的 n 次幂乘以该方阵的行列式,这个数不 能直接提出来, 同学们一定要注意这一点. 由 (3) 可知, 对于n 阶方阵 A , B , 一般来说 AB ? BA , 但总有 | AB | = | BA | . (1) 即为行列式的性质 1 ; 例 9 行列式 |A| 的各个元素的代数余子式 Aij 所构成的如下方阵 称为方阵 A 的伴随矩阵, 试证 AA? = A?A = |A|E . 八、共轭矩阵 复数, 记 称为 A 的共轭矩阵 . 当 A = (aij) 为复矩阵时, 用 表示 aij 的共轭 aij 共轭矩阵有以下运算规律(设 A ,B 为复矩阵, ? 为复数, 且运算都是可行的): 第一章 矩阵 §1.2 矩阵的基本运算 ? 产品 发到各商场的数量 A B C 甲 200 180 190 乙 100 120 100 第一次 产品 发到各商场的数量 A B C 甲 220 185 200 乙 105 120 110 第二次 产品 发到各商场的数量 A B C 甲 乙 两次累计: 420 365 390 205 一、矩阵的加法 1. 引例 第一章 矩阵 §1.2 矩阵的基本运算 ? 产品 发到各商场的数量 A B C 甲 200 180 190 乙 100 120 100 第一次 产品 发到各商场的数量 A B C 甲 220 185 200 乙 105 120 110 第二次 产品 发到各商场的数量 A B C 甲 乙 两次累计: 420 365 390 205 240 一、矩阵的加法 1. 引例 第一章 矩阵 §1.2 矩阵的基本运算 ? 产品 发到各商场的数量 A B C 甲 200 180 190 乙 100 120 100 第一次 产品 发到各商场的数量 A B C 甲 220 185 200 乙 105 120 110 第二次 产品 发到各商场的数量 A B C 甲 乙 两次累计: 420 365 390 205 240 210 一、矩阵的加法 1. 引例 2. 定义 定义 2 设 A = (aij)m×n 与 B = (bij)m×n 是两 A - B = A + (-B) . 阵. 显然有 A + (-A) = O. 由此可定义矩阵的差为 若记 - A = ( -aij) , 则称 -A 为矩阵 A 的负矩 阵 A 与矩阵 B 的和，记为 A＋B． 个同型矩阵，称 m×n 矩阵 C = (aij + bij)m×n 为矩 3. 运算规律 设 A, B, C 为同型矩阵, 则 (1) A + B = B + A ( 加法交换律) ; (2) ( A + B ) + C = A + ( B + C ) (加法结合律); (3) A + O = O + A = A, (4) A + ( -A ) = O . 其中 O 与 A 是同