西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 逆矩阵.ppt

都可逆，并求 例2 设方阵 A 满足 证明 例3 设 求 B. 已知方程变形 得 两边左乘 分解因式 得 解 而 得 用伴随矩阵法求逆， 得 所以 证明 A-1 + B-1 = A-1(E + AB-1) = A-1(BB-1 + AB-1) = A-1(B + A)B-1 . 由 (A-1 + B-1)-1 = [A-1(A + B)B-1]-1 = B(B + A)-1A. 同理可证另一个等式也成立. 可知 乘积: 将 A-1 + B-1 表示成已知的可逆矩阵的 例4 设 n 阶矩阵 A, B, A + B 均可逆, 证明 (A-1 + B-1)-1 = A(A + B)-1B = B(B + A)-1A. 由于 AA? = A? A = |A|E , 所以 |A| |A? | = |A|n . (4) 下面分三种情形讨论: (1) |A| ? 0, 即 A 可逆, (4) 式两端除以 |A| 即 得 |A? | = |A|n-1. (2) |A| = 0, 且 A = O, 则 A? = O, 结论显然成立 证明 例5 　设 A 为 n ( n ≥ 2 )阶方阵,证明 |A?| = |A|n-1. (3) |A| = 0, 但 A ? O, 反设 |A? | ? 0, 则 A? 可逆, 因而 A = (AA?)(A?)-1 =(|A|E)(A?)-1 = |A|(A?)-1 = O, 故 A = O, 与 A ? O 矛盾, 所以, |A? | = 0 = |A|n-1. 练 习 1. 设 计算 2. 设 计算 3. 设 求 4 . 设 A 与 B 都是幂等矩阵, 即 A2 = A, B2 = B, 证明 A + B 是幂等矩阵的充分必要条件是 AB = BA = O. 5. (1) 已知 试证: 可逆,且求 (2) 已知 证明 可逆(其中 x 为任意实数), 并求其逆阵的表达式. (3) 设 n 阶方阵 A 与 B 满足 证明 6. 已知 (1) 验证 P-1AP 是对角矩阵; (2) 计算 7. 求下列矩阵的逆矩阵: 8. 设 A 为 阶方阵, 且 (1) 求 (2) 求 9. 求解下列各题. 1) 设三阶行列式 A, B 满足关系式 且 求 B. (2) 设有矩阵方程 求 X. 2. 按列分块 对于 m ? n 矩阵 A 可以进行如下分块： 对于矩阵 A = ( aij )m ? s 与矩阵 B = ( bij )s ? n 的 乘积矩阵 AB = C = ( cij )m ? n ，若把 A 按行分成 m 块，把 B 按列分成 n 块，便有 = ( cij )m ? n ， 以对角矩阵 ?m 左乘 m ? n 矩阵 A 时，把 A 按行 分块，有 以对角矩阵 ?m 左乘 A 的结果是 A 的每一行乘以 ?m 中与该行对应的对角元. 以对角矩阵 ?n 右乘 m ? n 矩阵 A 时，把 A 按列 分块，有 以对角矩阵 ?n 右乘 A 的结果是 A 的每一列乘以 ?n 中与该列对应的对角元. 例 4 证明矩阵 A = O 的充要条件是方阵 ATA = O . 四、分块矩阵的应用 对于线性方程组 记 利用矩阵的乘法，此方程组可记作 Ax = b .　(2) 1、线性方程组的各种形式 如果把系数矩阵 A 按行分成 m 块，则线性方 程组 Ax = b 可记作 或 这就相当于把每个方程 ai1x1 + ai2x2 + ··· + ainxn = bi 记作 如果把系数矩阵 A 按列分成 n 块，则与 A 相 乘的 x 应对应地按行分成 n 块，从而记作 即 x1a1 + x2a2 + ··· + xnan = b . （4） 2、克拉默法则的证明 克拉默法则 对于 n 个变量、n 个方程的线 如果它的系数行列式 D ? 0，则它有唯一解 性方程组 练习： 解 （１）根据分块矩阵的乘法，得 （２）由（１）可得 知 识 要 点 一、内容提要 1. 矩阵的概念 (1) 矩阵的定义 定义 1 由 m×n 个数 aij ( i = 1, ··· ,