西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数 二次型.ppt

再配方，即可得到小行星轨道椭圆的标准形式 利用正交变换　　　　　将椭圆的一般方程标准化为 其中 称为二次型的系数. 一、二次型及其标准形的概念 定义 1 称 n 个变量的二次齐次式 f(x1 , x2 , ··· , xn ) = a11x12 + a22x22 + ··· + annxn2 + 2a12x1x2 + 2a13x1x3 + ··· + 2an-1,nxn-1xn (2) 为二次型. 问题： 寻求可逆的线性变换 使二次型只含平方项 定义 如果一个二次型只含变量的平方项， 则称这个二次型为标准形(或法式) . 如果标准形的系数只在 1 , -1 , 0 三个数中 取值，则称之为规范形. 当二次型的系数为复数时， 复二次型，当二次型的系数为实数时， 称为 称为实二次型. 二、二次型的表示 （1）用和号表示 取 aij = aji =kij/2 若记 A = (aij)n×n , x = (x1 , x2 , ··· , xn)T , 则 (2) 式所表示的二次型可以表示成 其中 AT = A 为实对称矩阵, 称 A 为二次型的矩 阵. 称矩阵 A 的秩 R(A) 为二次型的秩. （2）用矩阵表示 例1 将二次型 写成矩阵形式. 例2 已知二次型 的秩为2,求参数c。 解：二次型 的对称矩阵为 由 ，知 解得 定义　 设 A 和 B 是 n 阶方阵，若有可逆 矩阵 C，使 B = CTAC，则称矩阵 A 与 B 合同. 主要问题： 　　寻找可逆变换　　　，使二次型经可逆变换后变成标准形. 三、化二次型为标准形的正交变换法 定理 　任给二次型 总有正交变换 x = Py , 使 f 化为标准形 其中?1 , ?2 , ··· , ?n 是 f 的矩阵 A = (aij) 的特征值. f = ?1y12 + ?2 y22 + ··· + ?nyn2 , 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤: 例3 求正交变换 ，化二次型 为标准形，并指出方程 f =1表示何种二次曲面。 二次型的矩阵为 解： 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 A的特征值为 特征多项式为 2．求特征向量 当 时，解方程组 得基础解系 当 时，解方程组 得基 础解系 3．将特征向量正交化、单位化 取 得 于是所求的正交变换为 方程 f =1表示的二次曲面为单叶双曲面。 所化二次型的标准形为： 如果希望把负的特征值放在中间，则只需令 此时新的二次型方程就成为 进一步可得二次型的规范形为： 例4 怎样将二次方程 ，通过变量的坐标变换化简为只含有平方项的二次齐次多项式? 四、二次型化为标准形的几何意义 二次型的矩阵为 1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 A的特征值为 特征多项式为 2．求特征向量 当 时，解方程组 得基础解系 当 时，解方程组 得基础解系 3．将特征向量正交化、单位化 取 得 于是所求的正交变换为 所化二次型的标准形为： 几何角度 首先做出二次方程 表示的图像 若将坐标系逆时针旋转45度，得新坐标系 将上式代入方程就得只含平方项二次齐次多项式： 旋转变换矩阵为： 　　在平面上通过坐标变换，实质上是一个可逆的 线性变换，使二次型的主轴和坐标轴重合就能将 二次齐次多项式化简成只含有平方项的标准形， 这也是平面上将二次型化为标准形的几何意义。 　　从几何图形上寻找二次型主轴的问题，在线性 代数中就等价于：使矩阵A经过正交变换Ｐ实现对角 化。 五、化二次型为标准形的MATLAB求解 在使用MATLAB时，上述步骤可用eig函数来完成。 其调用格式为： 和 分别给出正交矩阵和特征值。 把例4 的系数矩阵 代入，运行结果为 六、二次型应用：小行星轨道问题 一位天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文单位 （一天文单位等于地球到太阳的平均距离）。在五个不同的时间对小行星做了5次观察，测得5个点的坐标数据如下表： 编号 坐标 1 2 3 4 5 X坐标 5.764 6.286 6.759 7.168 7.480 Y坐标 0.648 1.202 1.823 2.525 3.360 由开普勒第一定律知，小行星轨道为一椭圆， 现建立椭圆的标准方程以供研究小行星运行轨道的参数。 解 设椭圆的一般方程为 将上述5个点的坐标带入椭圆