西安交大西工大 考研备考期末复习 线性代数第1章二阶与三阶行列式习题课.ppt

2、数乘矩阵的运算规律 矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算. （设 为 矩阵， 为数） １、定义 并把此乘积记作 三、矩阵与矩阵相乘 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积 是一个 矩阵 ，其中 例１ 设 例2 故 解 注意　只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘. 例如 不存在. ２、矩阵乘法的运算规律 （其中 为数）; 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 注意　矩阵不满足交换律，即： 例 设 则 但也有例外，比如设 则有 把矩阵 的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . 例 １、定义 四、转置矩阵 转置矩阵的运算性质 例3 已知 解法1 解法2 五、方阵的行列式 1、定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式， 叫做方阵 的行列式，记作 或 ２、运算性质 3、对称阵与伴随矩阵 定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即 那末 称为对称阵. 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等. 说明 定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所 构成的如下矩阵 性质 称为矩阵 的伴随矩阵. 4、共轭矩阵 定义 当 为复矩阵时，用 表示 的共轭 复数，记　　　　，　称为 的共轭矩阵. 运算性质 （设 为复矩阵， 为复数,且运算都是可行的）: 证 对阶数n用数学归纳法 例11 证明 7　其他方法 解 (分析：对D1作行运算，相当于对D的前k行作相同的行运算，且D的后n行不变；对D2作列运算，相当于对D的后n列作相同的列运算，且D的前k列不变。) ∵ 对D1作适当的运算，可将D1化为下三角形；同理作适当的列运算，可将D2化为下三角形，分别设为 故对D的前k行作上述行运算，和对D的后n列作上述列运算后，D可化为 注： 这个例题有很深刻的意义：行列式可进行某种分块 运算，且关于块的运算同于行列式的运算。 【解】 1 1 1 1 =0 【例12】 例13 用克拉默则解方程组 解 例14 问 取何值时，齐次方程组 有非零解？ 解 齐次方程组有非零解，则 所以 或 时齐次方程组有非零解. 　　计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法． 小结 练习　计算 MATLAB给出了直接计算方阵行列式的函数det.m 其调用格式为： D=det(A) 用MATLAB计算方阵行列式 例15 求下列矩阵的行列式 解：列出程序： A?[10,8,6,4,1;2,5,8,9,4;6,0,9,9,8;5,8,7,4,0;9,4,2,9,1]; 1. 线性方程组 的解取决于 系数 常数项 一、矩阵概念的引入 第二章 矩阵及其运算 对线性方程组的 研究可转化为对 这张表的研究. 线性方程组的系数与常数项按原位置可排为 2. 某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线 ,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B. 四城市间的航班图情况常用表格来表示: 发站 到站 其中 表示有航班. 为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上 0,就得到一个数表: 这个数表反映了四城市间交通联接情况. 二、矩阵的定义 由 个数 排成的 行 列的数表 称为 矩阵.简称 矩阵. 记作 简记为 元素是实数的矩阵称为实矩阵, 元素是复数的矩阵称为复矩阵. 例如 是一个 实矩阵, 是一个 复矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵, 是一个 矩阵. 例如 是一个3 阶方阵. 几种特殊矩阵 (2)只有一行的矩阵 称为行矩阵(或行向量). 行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶