复变函数与积分变换重修辅导讲义.doc
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复变函数与积分变换重修辅导讲义(一)
内容提要:
1.复数的实部,虚部;与复平面上点一一对应。(画图)
2.复数的模,辐角,辐角主值。
3.复数的基本运算。(特别是开方运算)
4.复函数的概念;初等函数:指数函数,对数函数;欧拉公式。
5.复函数的导函数。
6.解析函数C-R方程
练习题:
1.复数的辐角主值为 ;
答案:
2.复数的辐角主值为 ;
答案:
3.复数的辐角主值为 ;
答案:
4.复数的辐角主值为 ;
答案:
5.设,则等于 ;等于 ;
答案:0;
6.设,则等于 ;等于 ;
答案:0;
7.设,则等于 ;等于 ;
答案: ;
8.设,则等于 ;等于 ;
答案: ;
9.复函数的导函数为___________;
答案:
10.复函数的导函数为___________;
答案:
11.复函数的导函数为___________;
答案:
12.复函数的导函数为___________;
答案:
13. 求方程的所有根.
解:,
从而
故方程的所有根为
14. 求方程的所有根.
解:
从而
故方程的所有根
15. 求的值.
解:
16. 求的值.
解:
17.设为解析函数,试确定的值.
解:由C-R方程知:,
且
即 且
故
复变函数与积分变换重修辅导讲义(二)
内容提要:
1.复函数的积分。(用柯西积分公式或高阶导数计算复积分)
2.复数项级数的极限。
3.幂级数的收敛半径。
4.幂级数的收敛半径。
5.判断级数的收敛性。
6.将函数展成洛朗级数.
练习题:
1.复积分____________;
答案: 0.
2.复积分____________;
答案: 0.
3.复积分____________;
答案:
4.复积分____________;
答案:
5.复积分 ;
答案: 0.
6.复积分 ;
答案:
7.复积分 ;
答案:
8.复积分 ;
答案: 0.
9.复积分 ;
答案: 0.
10.用柯西积分公式或高阶导数计算下列复积分(取正向)
(1)
解:由柯西积分公式知:
(2)
解:由柯西积分公式知:
(3)
解:由高阶导数公式,有
(4)
解:由柯西积分公式知:
(5)
解:由高阶导数公式,有
11.复数项级数的极限为_______;
答案:
12.复数项级数的极限为_______;
答案: 0.
13. 幂级数的收敛半径为_______;
答案: 1.
14. 幂级数的收敛半径为_______;
答案:
15.判断级数的收敛性,并说明理由.
解:由于级数为公比绝对值小于1的等比级数,收敛;
从而原级数绝对收敛.
16.判断级数的收敛性,并说明理由.
解:由于级数为公比绝对值小于1的等比级数,收敛;
从而原级数绝对收敛.
17.判断级数的收敛性,并说明理由.
解:由于通项的极限,是发散的;
从而原级数发散.
18. 将函数在内展成的洛朗级数.
解:函数在内是处处解析的,
且在复平面内的展开式为:
而在是解析的,
从而
19. 将函数在内展
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