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复变函数与积分变换重修辅导讲义.doc

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复变函数与积分变换重修辅导讲义(一) 内容提要: 1.复数的实部,虚部;与复平面上点一一对应。(画图) 2.复数的模,辐角,辐角主值。 3.复数的基本运算。(特别是开方运算) 4.复函数的概念;初等函数:指数函数,对数函数;欧拉公式。 5.复函数的导函数。 6.解析函数C-R方程 练习题: 1.复数的辐角主值为 ; 答案: 2.复数的辐角主值为 ; 答案: 3.复数的辐角主值为 ; 答案: 4.复数的辐角主值为 ; 答案: 5.设,则等于 ;等于 ; 答案:0; 6.设,则等于 ;等于 ; 答案:0; 7.设,则等于 ;等于 ; 答案: ; 8.设,则等于 ;等于 ; 答案: ; 9.复函数的导函数为___________; 答案: 10.复函数的导函数为___________; 答案: 11.复函数的导函数为___________; 答案: 12.复函数的导函数为___________; 答案: 13. 求方程的所有根. 解:, 从而 故方程的所有根为 14. 求方程的所有根. 解: 从而 故方程的所有根 15. 求的值. 解: 16. 求的值. 解: 17.设为解析函数,试确定的值. 解:由C-R方程知:, 且 即 且 故 复变函数与积分变换重修辅导讲义(二) 内容提要: 1.复函数的积分。(用柯西积分公式或高阶导数计算复积分) 2.复数项级数的极限。 3.幂级数的收敛半径。 4.幂级数的收敛半径。 5.判断级数的收敛性。 6.将函数展成洛朗级数. 练习题: 1.复积分____________; 答案: 0. 2.复积分____________; 答案: 0. 3.复积分____________; 答案: 4.复积分____________; 答案: 5.复积分 ; 答案: 0. 6.复积分 ; 答案: 7.复积分 ; 答案: 8.复积分 ; 答案: 0. 9.复积分 ; 答案: 0. 10.用柯西积分公式或高阶导数计算下列复积分(取正向) (1) 解:由柯西积分公式知: (2) 解:由柯西积分公式知: (3) 解:由高阶导数公式,有 (4) 解:由柯西积分公式知: (5) 解:由高阶导数公式,有 11.复数项级数的极限为_______; 答案: 12.复数项级数的极限为_______; 答案: 0. 13. 幂级数的收敛半径为_______; 答案: 1. 14. 幂级数的收敛半径为_______; 答案: 15.判断级数的收敛性,并说明理由. 解:由于级数为公比绝对值小于1的等比级数,收敛; 从而原级数绝对收敛. 16.判断级数的收敛性,并说明理由. 解:由于级数为公比绝对值小于1的等比级数,收敛; 从而原级数绝对收敛. 17.判断级数的收敛性,并说明理由. 解:由于通项的极限,是发散的; 从而原级数发散. 18. 将函数在内展成的洛朗级数. 解:函数在内是处处解析的, 且在复平面内的展开式为: 而在是解析的, 从而 19. 将函数在内展
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