复变函数和积分变换-第3章.ppt

第三节 Cauchy积分公式 例题1： 例题2： 第三节 Cauchy积分公式 第三章 定理:(Cauchy积分公式) 如果函数 在闭曲线C上 及其所围成的单连通区域D内解析，则在D内任意一点 ，函数 Remark2：解析函数的导数还是解析函数 高阶导数公式 有任意阶导数，且有下列公式成立 第三节 Cauchy积分公式 高阶导数公式 例题3： 例题4 小结 1 1 第三章 第一节 复变函数的积分 积分的定义 考虑的曲线：考虑简单光滑有向曲线上的积分 曲线方向的规定： (1) C为开口弧段： 按规定的起点和终点，起点到终点 (2) C为简单闭曲线：逆时针方向为正向，顺时针方向 为负向 (3) C是区域边界：当人沿着C行走时，区域始终在人 左侧, 外边界为逆时针方向，内边界为顺时针 第三章 第一节 复变函数的积分 积分的定义 负向 第三章 第一节 复变函数的积分 Def: (1) 把C分成任意n个小弧段 (2) 在弧段 上任取 (3) 求和 (4) 求极限： 若无论C的分法及 的取法如何，上述极限都存在唯一 的极限值，则称该极限值为函数f(z)在C上的积分。 第三章 第一节 复变函数的积分 积分的定义 若C为简单闭曲线，则 第三章 第一节 复变函数的积分 积分的定义 例题1： 第三章 第一节 复变函数的积分 积分存在的条件 f(z)连续，所以u，v都连续 第三章 第一节 复变函数的积分 积分的定义 由二元实函数积分存在的条件知 因此 第三章 第一节 复变函数的积分 积分性质 第三章 第一节 复变函数的积分 积分计算 第三章 第一节 复变函数的积分 积分的定义 其中C为(1) 连接0到1+i的直线段 (2) 从0到1的直线段和1到1+i的直线段； (3) 半圆|z|=1, 第三章 第一节 复变函数的积分 积分的定义 ，积分路线为逆时针方向 第三章 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 Cauchy定理 函数 满足什么条件下， 与积分路径无关？ 回想上节课中，我们得到 由高等数学知， 在单连域内有一阶偏导 数，且满足 时，积分 与路径无关。 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 第三章 对于 与路径无关 + 解析 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 第三章 柯西-古莎定理：如果函数 若曲线C为简单闭曲线，由Green公式知 在单连域内处处解析， 那么函数 沿D内任意一条闭曲线C的积分为0，即 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 第三章 定理：如果函数 在单连域内处处解析， 那么积分 与连接起点和终点的曲线C无关。 复变函数不定积分及牛顿-莱布尼茨公式 由上述定理可知 C1和C2是连接 和 的两条不同曲线。 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 第三章 固定 ，变动 在D内变动 与积分路径无关，且构成一个关于z的函数。 定理：若函数 在单连域内解析，则 也在D内解析，且 称为 的原函数， ——不定积分 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 第三章 复积分的牛顿莱布尼兹公式：若函数 在单连域内 处处解析， 为 的一个原函数，则 例题1： 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 第三章 复合闭路定理 上述Cauchy定理都是考虑的单连通区域内解析函数的积分，如果换成多连通区域会有什么样的结果呢？我们该怎么处理呢？ C D C 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 第三章 复合闭路定理 C C1 D C C2 C正向：逆时针方向 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 第三章 复合闭路定理 设C为多连通区域D内的一条简单闭曲线， 是C内部的简单闭曲线，且 中的每一个都在 其余的外部，以 的区域都含在D内，如果 在D内解析，则 (1) (2) 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 第三章 复合闭路定理 闭路变形定理：在区域内的一个解析函数沿着闭曲线的积分，不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值 特别地： 第二节 Cauchy定理和Cauchy积分公式 第三章 复合闭路定理 第三节 Cauchy积分公式 第三章 Cauchy积分公式 由Cauchy积分定理知 然而， 不是D内的解析函数，那么积分 第三节 Cauchy积分公式 第三章 第三节 Cauchy积分公式 第三章 定理:(Cauchy积分公式) 如果函数 在区域D内处处 解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，它的内部完 全含于D， 为C的任一点，那么 Remark1：对于解析函数，只要知道它在区域边界上的 值，区域内部的点的