复变函数与积分变换-第1章.pdf

复变函数与积分变换 李崇君 数学科学学院 著名数学家弗里曼·戴森的演讲译文：鸟和青蛙 翻译：王丹红 科学网 弗里曼•戴森（Freeman Dyson ）1923年12月15 日出生，美籍 英裔数学物理学家，普林斯顿高等研究院自然科学学院荣誉 退休教授。 戴森早年在剑桥大学追随著名的数学家G.H.哈代研究数学， 二战结束后来到美国康奈尔大学，跟随汉斯•贝特教授。他证 明了施温格和朝永振一郎发展的变分法方法和费曼的路径积 分法的等价性，为量子电动力学的建立做出了决定性的贡 献。1951年他任康奈尔大学教授，1953年后一直任普林斯顿 高等研究院教授。 《鸟和青蛙》(Birds and Frogs)是戴森应邀为美国数学会爱 因斯坦讲座所起草的一篇演讲稿，该演讲计划于2008年10月 举行，但因故被取消。这篇文章全文发表于2009年2月出版 的《美国数学会志》(Notices of the AMS, Vol. 56, No. 2)。 自然的玩笑 我是一个培根学派的信徒。对我而言，布尔巴基纲领的一个主 要不足是错失了一种惊喜元素。布尔巴基纲领努力让数学更有 逻辑。当我回顾数学的历史时，我看见不断有非逻辑的跳跃、 难以置信的巧合和自然的玩笑。大自然所开的最深刻玩笑之一 是负1的平方根，1926年，物理学家埃尔文•薛定谔（Erwin Schrodinger ）在发明波动力学时，将这个数放入他的波动方 程。 当薛定谔开始思考如何将光学和力学统一时，他就是一只鸟。 早在100多年前，借助于描述光学射线和经典粒子轨迹的相同数 学，汉密尔顿统一了射线光学和经典力学。薛定谔也希望用同 样的方式来统一波动光学和波动力学。当时，波动光学已经存 在，但波动力学尚未出现。薛定谔不得不发明波动力学来完成 这一统一。开始时，他将波动光学作为一个模型，写下机械粒 子的微分方程，但这个方程没有任何意义。这个方程看起来像 连续介质中的热传导方程。热传导与粒子力学之间没有可见的 相关性。薛定谔的想法看起来没有任何意义。然而，奇迹出现 了。薛定谔将负1的平方根放入机械粒子的微分方程，突然间， 它就有意义了。突然间，它成为波动方程而不是热传导方程。 薛定谔高兴地发现，这个方程的解与玻尔原子模型中的量化轨 道相吻合。 结果，薛定谔方程准确描述了我们今天所知原子的每一种行 为。这是整个化学和绝大部分物理学的基础。负1的平方根 意味着大自然是以复数而不是实数的方式运行。这一发现让 薛定谔和其他所有人耳目一新。薛定谔记得，当时，他14岁 大的“女朋友”伊萨•荣格尔（Itha Junger ）曾对他说：“嗨， 开始时，你从来没想过会出现这么多有意义的结果吧？” 在整个19世纪，从阿贝尔（Abel ）、黎曼（Riemann ）到维 尔斯特拉斯（Weierstrass ），数学家们一直在创建一个宏大 的复变函数理论。他们发现，一旦从实数推进到复数，函数 论就变得更深刻更强大。但是，他们一直将复数看作是人造 结构，是数学家们从真实生活中发明的一种有用、优雅的抽 象概念。他们未曾料到，他们发明的这个人工数字事实上是 原子运行的基础。他们从未想象过，这个数字最初是出现在 自然界。 教材与参考书 考试及成绩 • 平时成绩（考勤，作业） 30% • 期中考试 • 期末考试 70 ％ 序言：复变函数介绍 参考《复变函数》李庆忠，科学出版社 复变函数理论在19世纪由三位著名的数学家 A.L. Cauchy (1789.8.21~1857.5.25) K. Weierstrass (1815.10.31~1897.2.19) B. Riemann (1826.9.17~1866.7.20) 奠定了基础. 若从1826年Cauchy建立其积分公式算起，至今已有180多年 的历史，发展至今已经相当成熟. 这三位数学家分别从完全不同的途径来研究复变函数理论, 而得到了殊途同归的效果： •Cauchy定义的解析函数f (z) 是指其在区域内存在连续导数 f ’ (z) 。 •K. Weierstrass定义的解析函数f (z) 是指其在区域每一点的 邻域内可展为收敛的幂级数。 •B. Riemann则把复变函数分成实部和虚部来研究，即 f