复变函数与积分变换.ppt

第一节复数及其代数运算一、复数的概念二、复数的代数运算五、小结与思考三、复平面四、扩充复平面1.虚数单位:对虚数单位的规定:一、复数的概念2.复数:PART1注:两复数相等当且仅当它们的实部和虚部分别相等.1复数z等于0当且仅当它的实部和虚部同时等于0.2说明两个数如果都是实数,可以比较它们的大小,如果不全是实数,就不能比较大小,也就是说,复数不能比较大小.3思考题复数为什么不能比较大小？1思考题答案由此可见,在复数中无法定义大小关系.二、复数的代数运算01两复数的和:02两复数的积:03两复数的商:例1解4.共轭复数:实部相同而虚部绝对值相等符号相反的两个复数称为共轭复数.以上各式证明略.共轭复数的性质:例2202X解01例302解三、复平面复平面的定义显然下列各式成立复数的模(或绝对值)添加标题添加标题3.复数的辐角01说明02辐角不确定.辐角主值的定义:利用平行四边形法求复数的和差两个复数的加减法运算与相应的向量的加减法运算一致.5.复数和差的模的性质利用直角坐标与极坐标的关系复数可以表示成复数的三角表示式再利用欧拉公式复数可以表示成复数的三角表示和指数表示复数的指数表示式01例4将下列复数化为三角表示式与指数表示式:添加标题02解添加标题03故三角表示式为添加标题指数表示式为指数表示式为故三角表示式为指数表示式为故三角表示式为01定理一单击此处添加小标题03证单击此处添加小标题02两个复数乘积的模等于它们的模的乘积;两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和.单击此处添加小标题04复数和差的模的性质单击此处添加小标题由于辐角的多值性,两复数相乘就是把模数相乘,辐角相加.两端都是无穷多个数构成的两个数集.对于左端的任一值,右端必有值与它相对应.说明[证毕]定理二按照商的定义,两个复数的商的模等于它们的模的商;两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.[证毕]证解例5