复变函数与积分变换辅导资料九.doc

复变函数与积分变换辅导资料九 主 题：第四章 解析函数的级数1—2节 学习时间：2016年11月28日－12月4日 内 容： 在高等数学中，级数是研究函数的重要工具。同样，在复变函数中，级数仍然是研究复变函数的重要手段。 本周首先介绍复数项级数的概念，再研究幂级数的收敛域及其和函数。其学习要求及需要掌握的重点内容如下： 1、知道复数列收敛的概念 2、了解复数项级数收敛、发散及绝对收敛等概念 3、会判断复数项级数的收敛性 4、理解幂级数收敛的概念及性质 5、非常熟练地掌握幂级数的收敛半径的求法 基本概念：知识点：为一复数列，其中，又设为确定的复数，如果对任意，存在自然数N，当时，总有成立，则称复数列收敛于，或称当时，以为极限，记作。如果复数列不收敛，则称发散。 定理：设，，则称数列收敛于的充分必要条件是。 典型例题： 例、判断复数列是否收敛，若收敛求出它的极限。 解： 而 因此 2、复数项级数 定义1：设为一复数列，表达式称为复数项级数，记作，其最前面n项的和，称为级数的部分和。 如果部分和数列有极限，即，则称级数收敛，的和是S，或者说收敛于S；如果部分和数列没有极限，则称级数发散。 典型例题： 例、当时，判断级数是否收敛？ 解：部分和 当时，有 从而有 所以 这就是说，当时，级数收敛，其和为 即当时， 定理1：级数收敛的充要条件是级数与都收敛 定理2：复数项级数收敛的必要条件是 定义2：若级数收敛，则称级数绝对收敛；若级数收敛，而发散，则称级数条件收敛。（学会判断各复数项级数的收敛性）收敛，则级数必收敛，且有不等式成立。 典型例题： 例、判别复数项级数的敛散性 解：因为 级数与都收敛，所以级数收敛 而发散，所以级数条件收敛 第二节、幂级数 （要求达到“领会”层次） 1、幂级数的概念 设为一复变函数列，其中各项在区域D内有定义，表达式称为这级数的部分和。 如果对于D内的某一点，极限存在，那么称复变函数项级数在收敛，而称为它的和，如果级数在D内出处收敛，那么它的和一定是z的一个函数，，称为级数的和函数。 当或时就得到复变函数项级数的特殊情形 或，这种级数称为幂级数。 2、收敛圆与收敛半径 定义：若存在一个正数，使幂级数在内处处收敛，而在内处处发散，则称为收敛圆，称为收敛半径。 3、收敛半径的求法 定理：设幂级数若下列条件之一成立： 1、（比值法）（全不为零）（此方法要重点掌握） 2、（根值法） 则幂级数的收敛半径 典型例题： 例、选择题：设幂级数和的收敛半径分别为，则之间的关系是（ ） A、 B、 C、 D、 答案：D 解题思路：幂级数中 幂级数中 幂级数中 4、幂级数的运算和性质 （1）有理数运算 设有两个幂级数，， 令，则在内，这两个幂级数可进行如下的四则运算： ①加、减法 ②乘法 ③除法 其中，假设，系数可由比较z的同次幂的系数决定。值得注意的是，相除后所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径都小。 如与的收敛半径均为 而它们的商的收敛半径。 （2）复合运算 当时，，在时，解析且，那么当时，。 典型例题： 例、把函数表成形如的幂级数 解：把函数变形，使之成为的形式： 由等比级数知，即 大连理工大学网络教育学院 第1页 共6页