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大工秋《复变函数与积分变换》辅导资料十七.doc

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复变函数与积分变换辅导资料十七 主 题:第八章 拉普拉斯变换 第一节 拉普拉斯变换的概念 学习时间:2014年1月20日-1月26日 内 容: 通过上一章的学习,我们了解到傅里叶变换的存在条件是比较强的,要求被变换的函数不仅在有限区间上满足狄利克雷条件,而且要求函数在上绝对可积。这个条件实际上很苛刻,很多常见的函数甚至是很简单的函数,如多项式函数、正弦函数、余弦函数、单位阶跃函数等都不满足这个存在条件,致使傅里叶变换的应用受到很大的限制。本章将介绍一种应用较为广泛、能够克服傅里叶变换不足的积分变换—拉普拉斯变换。本周学习要求及需要掌握的重点内容如下: 1、深刻理解拉普拉斯变换及其逆变换的概念,注意拉普拉斯变换与傅里叶变换的区别、联系 2、理解拉普拉斯变换的存在定理 基本概念:拉普拉斯变换及其逆变换 知识点:在时有定义,且含复参变量s的积分在s的某区域内收敛,则称由这个积分确定的函数为的拉普拉斯变换,简称为的拉氏变换,并记为,即 在式子中,称为的像函数;称为的像原函数或的拉氏逆变换,记为。 事实上,我们从下面可以看出傅里叶积分变换和拉普拉斯积分变换的关系: 令,则 由此可以知道,的拉普拉斯积分变换就是的傅里叶积分变换,首先通过单位阶跃函数使函数在的部分为0,其次对函数在的部分乘一个衰减的指数函数以降低其增长速度,这样就有希望使函数满足傅里叶积分变换的条件,从而对它进行傅里叶积分变换。 典型例题: 例1、求单位阶跃函数的拉氏变换 解:根据拉氏变换的定义, 这个广义积分在时收敛,而且有 所以 例2、求指数函数的拉氏变换(k为实数) 解: 所以 例3、求正弦函数为实数)的拉氏变换 解: 同理可求得余弦函数为实数)的拉氏变换 二、拉普拉斯变换的存在定理 若函数满足: (1)在的任一有限区间上分段连续; (2)当时,的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数及,使得,则的拉氏变换在半平面上一定存在,并且在的半平面内,为解析函数。 证明:设,则,所以 由,可以知道右端积分在上半平面上收敛。关于解析性的证明省略。 注1:大部分常用函数的拉普拉斯变换都存在 注2:存在定理的条件是充分但非必要条件 对于任意函数来说,其拉普拉斯变换有三种情况,或者不存在,或者在整个复平面上存在,或者在一个半平面内存在。 三、单位脉冲函数的拉氏变换 对函数,若在t=0处有界,则,且 但对脉冲函数,由于 因此 那么在拉氏变换的定义中,积分式是理解成还是理解成是个问题。 为了讨论这一情况,将函数在时有定义扩充为及的一个邻域内有定义。这样拉氏变换的定义应理解为,即 典型例题: 例、求单位脉冲函数的拉氏变换 解: 一般地 通常记, 大连理工大学网络教育学院 第1页 共3页
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