2024_2025学年新教材高中数学第8章立体几何初步8.4.1平面学案含解析新人教A版必修第二册.doc
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8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
8.
学习任务
核心素养
1．了解平面的概念，驾驭平面的画法及表示方法．(难点)
2．能用符号语言描述空间点、直线、平面之间的位置关系．(重点)
3．能用图形、文字、符号三种语言描述三个公理，理解三个公理的地位与作用．(难点、易错点)
1．通过对平面有关概念的学习，培育直观想象的数学素养．
2．通过平面基本性质的应用，培育逻辑推理、直观想象的数学素养．
安静的湖面、海面，生活中的课桌面、黑板面，一望无垠的草原给你什么样的感觉？
问题：(1)生活中的平面有大小之分吗？
(2)几何中的“平面”是怎样的？
学问点1平面
平面的描述性概念
几何里所说的“平面”，就是从生活中一些物体中抽象出来的．平面是向四周无限延展的
画法
水平放置
常把平行四边形的一边画成横向
竖直放置
常把平行四边形的一边画成竖向
记法
(1)
用希腊字母α，β，γ等表示平面，如平面α、平面β、平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个角内
(2)
用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面ABCD
(3)
用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如平面AC，平面BD
1．一个平面能否把空间分成两部分？
[提示]因为平面是无限延展的，所以一个平面能把空间分成两部分．
1．下列说法正确的是________．(填序号)
(1)平面的形态是平行四边形；
(2)任何一个平面图形都是一个平面；
(3)两个平面相交的画法中，一个平面被另一个平面遮住时，被遮部分的线段应画成虚线或不画；
(4)三角形、圆、平行四边形都可以表示平面．
(3)(4)[(1)不正确．平面常用平行四边形表示，但不是平行四边形，平面是无限延展的．
(2)不正确．平面图形与平面是两个不同的概念，平面图形具有大小、面积等属性，而平面则没有，平面是无限延展的，不行度量的．
(3)正确．符合直观图画法的规则．
(4)正确．三角形、圆、平行四边形都是平面图形，都可以表示平面．]
学问点2点、直线、平面之间的位置关系
文字语言表达
图形语言表达
符号语言表达
点A在直线l上
A∈l
点B在直线l外
B?l
点A在平面α内
A∈α
点P在平面α外
P?α
直线l在平面α内
l?α
直线l不在平面α内
l?α
平面α与β相交于直线l
α∩β＝l
2．如图，点A________平面ABC；点A________平面BCD；BD________平面ABD；平面ABC∩平面BCD＝________．
[答案]∈??BC
学问点3平面的基本领实及推论
(1)基本领实：
基本领实
内容
图形
符号
基本领实1
过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面
A，B，C三点不共线?存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本领实2
假如一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内
A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α?l?α
基本领实3
假如两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α，且P∈β?α∩β＝l，且P∈l
(2)基本领实1的推论．
①②③
推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面(图①)．
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面(图②)．
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面(图③)．
2．(1)如何理解基本领实1中的“有且只有一个”？
(2)两个不重合的平面可能存在有限个公共点吗？
(3)假如两个不重合的平面有多数个公共点，那么这些公共点有什么特点？
[提示](1)这里的“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一，本公理强调的是存在性和唯一性两个方面，因此“有且只有一个”，必需完整地运用，不能仅用“只有一个”来代替“有且只有一个”，否则就没有表达存在性．确定一个平面中的“确定”是“有且只有一个”的同义词，也就是存在性和唯一性这两个方面的，这个术语今后学习中会常常出现．
(2)不能．要么没有公共点，要么有多数个公共点．
(3)这些公共点落在同一条直线上．
3．空间随意四点最多可以确定平面的个数是()
A．1B．2C．3D．4
D[空间随意四点最多可以确定平面的个数是4，例如空间随意四点为三棱锥A-BCD的顶点时，可以确定平面ABC，平面ABD，平面ACD，平面BCD．]
类型1立体几何三种语言的相互转化
【例1】用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
[解](1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．