2024年新教材高中数学第八章立体几何初步4.2空间点直线平面之间的位置关系学案新人教A版必修第二册.doc
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空间点、直线、平面之间的位置关系
视察你所在的教室．
【问题1】教室内灯管所在的直线是什么位置关系？
【问题2】教室内的灯管所在的直线与地板面是什么位置关系？
【问题3】教室内的桌面与地板面是什么位置关系？
1．空间两条直线的位置关系
空间两条直线的位置关系若依据有无公共点如何分类？
2．空间中直线与平面之间的位置关系
(1)位置关系
(2)直线在平面外：直线与平面相交或平行，直线不在平面内．
空间中直线与平面的位置关系若依据有无公共点如何分类？
3．空间中平面与平面之间的位置关系
平行
没有公共点，记作：α∥β
相交
有一条公共直线
1.分别在两个平面内的直线是异面直线吗？
2．若直线与平面没有公共点，那么直线肯定在平面外吗？
3．分别在两个平行平面内的两条直线肯定平行吗？
提示：1.不肯定；2.肯定；3.不肯定．
视察教材P130图8.4－15，与A′B异面的棱有哪些？
提示：AD，B′C′，DC，D′C′，D′D，C′C.
1．两条异面直线指的是()
A.不同在任何一个平面内的两条直线
B.在空间内不相交的两条直线
C.在空间中不平行的直线
D.某一个平面内的一条直线和这个平面外的一条直线
【解析】选A.依据异面直线的定义，对于A：符合定义，故A正确；
对于B：在空间不相交的直线但是可能平行，故B错误；
对于C：可能是相交直线，故C错误；
对于D：可能经过直线与平面的交点，故D错误．
2．直线a在平面γ外，则()
A.a∥γ
B.a与γ至少有一个公共点
C.a∩γ＝A
D.a与γ至多有一个公共点
【解析】选D.直线a在平面γ外，则直线a与平面γ平行或相交，因此直线a与γ至多有一个公共点．
基础类型一用符号语言描述位置关系(数学抽象)
1．(2024·无锡高一检测)用符号表示“点A在直线l上，l在平面α内”，正确的是()
A．A∈l，l?αB．A?l，l?α
C．A?l，l∈αD．A∈l，l?α
【解析】1.选D.点与线的位置关系用“∈”或“?”表示，线与面的位置关系用“?”或“?”表示，则“点A在直线l上，l在平面α内”可用A∈l，l?α表示．
2．如图所示，用符号语言可表示为()
A.α∩β＝m，n?α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n?α，A?m，A?n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
【解析】2．选A.两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表示为α∩β＝m，n?α，m∩n＝A.
3．用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
【解析】3．(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C?AB，如图．
三种语言的转换方法
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先细致视察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要留意符号语言的意义．如点与直线的位置关系只能用“∈”或“?”，直线与平面的位置关系只能用“?”或“?”．
基础类型二空间位置关系的推断(空间想象)
【典例】1.(2024·合肥高一检测)若直线l与平面α平行，直线a?α，则l与a位置关系()
A．平行B．异面C．相交D．没有公共点
【解析】1.选D.因为直线l与平面α平行，所以l与平面α没有公共点，又直线a?α，所以l与a没有公共点，故C错误，D正确；直线l与直线a没有公共点，则l与a可能平行，也可能异面，故A与B错误．
2．已知两直线m，n，两平面α，β，若m?α，n?β，α∥β，则m与n的位置关系是()
A．平行B．相交C．异面D．平行或异面
【解析】2．选D.因为α∥β，所以α与β没有公共点，
又m?α，n?β，所以m与n没有公共点，
则m与n的关系为平行或异面．
关于点、直线、平面位置关系的推断
(1)依据位置关系的分类，利用空间想象推断；
(2)借助熟识的几何体，如长方体进行推断；
(3)利用生活中的实物，如墙面、电线、笔代表线面进行推断．
若直线a，b均平行于平面α，那么a与b位置关系是________．
【解析】在正方体AC1中，E是AA1的中点，F是BB1的中点，A1B1∥平面ABCD，A1D1∥平面ABCD，
B1C1
A1B1∩A1D1＝A1，A1D1∥B1C1，A1D1
答案：相交、平行、异面
综合类型异面直线的应用(逻辑推理)
异面直线的推断
①在图中，G，H，M，N