2024年新教材高中数学第八章立体几何初步5.3平面与平面平行学案新人教A版必修第二册.doc
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平面与平面平行
上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层．
【问题1】展馆的每两层所在的平面什么关系？
【问题2】上层面上任始终线状物体与下层地面有何位置关系？
【问题3】上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？
1．平面与平面平行的判定定理
文字
假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号
a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β
图形
假如一个平面内的两条直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行吗？
提示：不肯定．当这两条直线平行时，这两个平面有可能相交．
2．平面与平面平行的性质定理
文字
两个平面平行，假如一个平面与这两个平面相交，那么交线平行
符号
α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b
图形
面面平行还有哪些性质？
提示：(1)假如两个平面平行，那么其中一个平面内的随意一条直线与另一个平面平行；
(2)夹在两平行平面之间的平行线段相等；
(3)两个平面平行，其中一个平面上随意一点到另一个平面的距离相等．
1.假如一个平面内有多数条直线与另一个平面平行，那么这两个平面肯定平行吗？
2．假如两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线肯定平行吗？
3．假如两个平面平行，那么其中一个平面内的直线与另一个平面肯定平行吗？
提示：1.不肯定；2.不肯定；3.肯定平行．
视察教材P142图8.5－19，夹在两个平行平面之间的线段肯定相等吗？
提示：不肯定．
1．下列结论中，错误的是()
A.平行于同始终线的两个平面平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.平行于同一平面的两直线位置关系不确定
D.两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
【解析】选A.如图正方体ABCD-A1B1C1D1
BB1∥平面ADD1A1，BB1∥平面DCC1D1
而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1
2．a是平面α外一条直线，过a作平面β，使α∥β，这样的β()
A．只能作一个 B．至少可以作一个
C.不存在 D．至多可以作一个
【解析】选D.当a∥α时，过a作平面β，使得β∥α，由平面与平面平行的性质得这样的平面β有且只有1个．当a与α相交时，设a与α的交点为P，依据题意知，P∈β，P∈α，则α∩β＝l且P∈l，这与α∥β冲突，所以这样的β不存在．综上所述，过平面α外一条直线a与α平行的平面至多有1个．
基础类型一平面与平面平行的判定定理(逻辑推理)
1．(2024·泰安高一检测)如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与P，R，Q三点所在平面平行的是()
【解析】选D.
由题意可知，经过P，Q，R三点的平面如图：截面为六边形PQEFRS(E，F，S为所在棱中点)，可知N在经过P，Q，R三点的平面上，所以B，C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确，故选D.
2．(2024·哈尔滨高一检测)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，S是B1D1
求证：平面EFG∥平面BDD1B1.
【解析】连接SD，SB.
因为F，G分别是DC，SC的中点，所以FG∥SD，
又SD?平面BDD1B1，FG?平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1，同理可证直线EG∥平面BDD1B1，又直线EG?平面EFG，直线FG?平面EFG，
EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)利用线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
基础类型二平面与平面平行的性质定理(逻辑推理)
【典例】如图，在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别在棱AB，PB，BC上，且平面DEF∥平面PAC，若eq\f(BD,AD)＝eq\f(4,5)，则△DEF与△APC的面积之比为________．
【证明】因为在三棱锥P-ABC中，点D，E，F分别在棱AB，PB，BC上，且平面DEF∥平面PAC，
所以DE∥AP，DF∥AC，EF∥PC，
所以△DEF∽△APC，
因为eq\f(BD,AD)＝eq\f(4,5)，所以eq\f(DE,AP)＝eq\f(EF,PC)＝eq\f(DF,AC)＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(4,9)，
所以△DEF与△APC的面积之比为：eq\b\lc\(\rc\)