2024年新教材高中数学第八章立体几何初步4.1平面学案新人教A版必修第二册.doc
PAGE
PAGE9
平面
同学们在生活中都有这样的常识,停自行车时,要打开脚撑.
【问题1】为什么打开脚撑后自行车就能停稳?
【问题2】还有什么确定平面的方法?
【问题3】怎样用符号语言描述空间中点、直线、平面的位置关系?
1.平面
(1)定义:几何里所说的“平面”,是从生活中的课桌面、黑板面、安静的水面等抽象出来的.
(2)本质:由点构成,平的,向四周无限延展.
2.平面的画法
(1)水平放置的平面通常画成一个平行四边形,它的锐角通常画成45°,且横边长等于其邻边长的2倍.如图①.
(2)假如一个平面被另一个平面遮拦住,为了增加它的立体感,把被遮挡部分用虚线画出来.如图②.
3.平面的表示法
如图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或者平面BD.
本质:
1.平面是由镜面、安静的水面等实物抽象出来的数学概念.平面与生活中平的面这些实物有根本的区分,既具有无限延展性,又没有大小、宽窄、薄厚之分,平面的这种性质与直线的无限延展性是相通的.
2.平面没有凹凸曲折,是数学上最简洁的面,即在相交的两条直线上各取一动点,作出过这两点的直线,全部这些直线构成的面.
4.点、线、面之间的关系
(1)直线在平面内的概念:
假如直线l上的全部点都在平面α内,就说直线l在平面α内,或者说平面α经过直线l.
(2)符号表示:
点P在直线l上
P∈l
点P在平面α外
P?α
点P在直线l外
P?l
直线l在平面α内
l?α
点P在平面α内
P∈α
直线l在平面α外
l?α
(3)本质:点与直线、点与平面是元素与集合的关系;直线与平面是集合与集合的关系.
5.平面的基本领实及推论
(1)基本领实:
基本领实
内容
图形
符号
基本领实1
过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面
A,B,C三点不共线?存在唯一的平面α使A,B,C∈α
基本领实2
假如一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内
A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α?l?α
基本领实3
假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线
P∈α,且P∈β?α∩β=l,且P∈l
(2)推论
推论1经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面(图①).
推论2经过两条相交直线,有且只有一个平面(图②).
推论3经过两条平行直线,有且只有一个平面(图③).
(3)本质:基本领实是人们通过长期视察与实践总结出来的,是几何推理的基本依据,进一步探讨立体几何的基础.
(4)应用:
基本领实1:确定平面;
基本领实2:确定直线在平面内;
基本领实3:确定点共线.
本质:三个基本领实又称三个公理,三个公理及其推论是探讨空间图形性质的理论基础,是立体几何推理论证的理论依据.
经过空间中三个点可以作出几个平面?
提示:当三个点共线时可以作出多数个平面;当三个点不共线时只能作唯一的一个.
1.安静的、一望无际的湖面是平面吗?
2.一条直线和一个点能确定一个平面吗?
3.平面α与平面β相交于直线l,若点P是平面α和平面β公共点,则点P与直线l的位置关系是什么?
提示:1.不是;2.不肯定;3.点P在直线l上.
视察教材图8.4-10,怎样用符合语音描述四条腿的底端在一个平面上?
提示:设凳子腿的底端分别为A,B,C,D,因为AB与BD相交于一点,所以直线AB,BD确定一个平面,
设为α,则A∈α,B∈α,C∈α,D∈α,即点A,B,C,D四点共面.
1.下列四个选项中的图形表示两个相交平面,其中画法正确的是()
【解析】选D.画两个相交平面时,被遮住的部分用虚线表示.
2.若点Q在直线b上,b在平面β内,则Q,b,β之间的关系可记作()
A.Q∈b∈β B.Q∈b?β
C.Q?b?β D.Q?b∈β
【解析】选B.因为点Q(元素)在直线b(集合)上,
所以Q∈b.又因为直线b(集合)在平面β(集合)内,
所以b?β,所以Q∈b?β.
基础类型一空间中点、直线、平面(直观想象)
1.三个平面α,β,γ两两均相交,则这三个平面的交线总共可能有()条.
A.1B.2C.3D.1或3
【解析】选D.当三个平面交于一条直线时,交线的条数是1,当三个平面两两相交,交线不重合时,有3条交线,综上:可知空间中三个平面两两相交交线的条数是1或3.
2.给出下列四个说法,其中正确的是()
A.线段AB在平面α内,则直线AB不在平面α内
B.三条平行直线共面
C.两平面有一个公共点,则肯定有多数个公共点
D.空间三点确定一个平面
【解析】选C.对于A,线段AB在平面α内,则直线AB肯定在平面α内,故A错误;
对于B,三条平行直线不肯定共面,比如正方体AC1中,三条平行线