2024年新教材高中数学第八章立体几何初步6.3平面与平面垂直一学案新人教A版必修第二册.doc
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平面与平面垂直(一)
在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而探讨直线与直线相互垂直这种特别状况．类似地，我们须要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而探讨两个平面相互垂直．
【问题1】怎样刻画笔记本电脑张开程度的大小？
【问题2】二面角的平面角是怎样定义的？
【问题3】怎样判定两个平面垂直？
1．二面角
(1)定义：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形；
(2)概念：
(3)记作：二面角α-AB-β；二面角α-l-β；二面角P-AB-Q.
2．二面角的平面角
(1)定义：在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(2)图形：
(3)范围：0°≤α≤180°.
3．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，假如它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面相互垂直．
平面α与β垂直，记作：α⊥β；
(2)图示：
(3)判定定理：
①定理：假如一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
②符号：a?α，a⊥β?α⊥β.
(1)两个平面垂直是两个平面相交的特别状况．例如长方体中随意相邻两个面都是相互垂直的．
(2)两个平面垂直和两条直线相互垂直的共同点：都是通过所成的角是直角定义的．
(3)通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直，即线面垂直?面面垂直．证题思路：处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题来解决．
定义能否作为判定两个平面垂直的依据？
提示：能．定义既是判定也是性质．
1.为什么二面角平面角的大小与在二面角棱上的取点无关？
2．二面角的平面角确定的平面与二面角的棱什么关系？
3．假如一条直线垂直于一个平面，那么经过这条直线的任何一个平面与这个平面什么关系？
提示：1.依据等角定理，取不同点时，角都是相等的；2.垂直；3.垂直．
视察教材第158页图8.6－28，图中相互垂直的平面有哪些？
提示：平面PAC与平面PBC；平面PAB与平面ABC；平面PAC与平面ABC.
1．在二面角α-l-β的棱l上任选一点O，若∠AOB是二面角α-l-β的平面角，则必需具有的条件是()
A.AO⊥BO，AO?α，BO?β
B．AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO?α，BO?β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO?α，BO?β
【解析】选D.由二面角的平面角的定义可知．
2．如图所示，在三棱锥P-ABC中，若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则在三棱锥P-ABC的四个面中，相互垂直的面有________对．
【解析】平面PAB⊥平面PAC，平面PAB⊥平面PBC，平面PAC⊥平面PBC.
答案：3
基础类型二面角平面角的概念
及求法(逻辑推理、数学运算)
1．如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝eq\f(1,2)AD，二面角A-BD-C＝________．
2．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角B-A1C1-B
【解析】1.因为AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，
所以BD⊥AC.又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，
所以BD⊥平面ACD.
因为AD?平面ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即为二面角A-BD-C的平面角．
在Rt△ACD中AC＝eq\f(1,2)AD，所以∠ADC＝30°.
答案：30°
2．取A1C1的中点O，连接B1
由题意知B1O⊥A1C1
又BA1＝BC1，O为A1C1的中点，所以BO⊥A1C
所以∠BOB1即是二面角
B-A1C1-B1
因为BB1⊥平面A1B1C1D1，OB1?平面A1B1C1D
所以BB1⊥OB1.
设正方体的棱长为a，则OB1＝eq\f(\r(2),2)a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝eq\f(BB1,OB1)＝eq\f(a,\f(\r(2),2)a)＝eq\r(2)，
所以二面角B-A1C1-B1的正切值为eq\r(2).
求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
微提示：找二面角的平面角可以从与二面角的棱垂直的边入手，依据定义确定平面角．
综合类型面面垂直的判定
及应用(直观想象、逻辑推理)
利用判定定理证明面面垂直
【典例】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠BAD＝∠CDA＝90°，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝DC＝1，AB＝2证明：平面PAC⊥平面PBC.
【证明】由已知得AC＝eq\r(AD2＋CD2)＝eq\r(2)，BC＝eq\r(AD2＋（AB－CD）2)＝eq\r(2)，AB＝2，
所以