2024年新教材高中数学第八章立体几何初步6.3平面与平面垂直二学案新人教A版必修第二册.doc
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平面与平面垂直(二)
教室中黑板与地板所在的面相互垂直．同学们喜爱在黑板上画线、写字、画画．
【问题1】在黑板上随意画一条直线，该直线与地板面什么关系？
【问题2】怎样在黑板上画一条直线与地板面垂直？
【问题3】黑板面上和黑板面与地板面交线垂直的直线与地板面什么关系？
1．平面与平面垂直的性质定理
文字
语言
两个平面垂直，假如一个平面内有始终线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号
语言
α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β
图形
语言
文字
语言
两个平面垂直，假如一个平面内有始终线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直
符号
语言
α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β
图形
语言
2.空间线、面之间的垂直关系
若平面α⊥平面β，点A∈α，过点A作直线l⊥β，那么直线l与平面α的关系是什么？
提示：直线l在平面α内，即l?α.
1.若平面α⊥β，对于平面α内的随意一条直线，能否在平面β作多数条直线与平面α垂直？
2．假如平面α⊥β，β⊥γ，那么平面α与γ有什么样的位置关系？
3．假如平面α与β不垂直，那么在平面α内是不是肯定不存在与平面β垂直的直线？
提示：1.能；2.位置关系不能确定；3.是．
视察教材P161图8.6－34，在例10的条件下，过点C怎样作一条直线与平面PAB垂直？
提示：在平面ABC内，过点C作AB的垂线，也可过C点作PB的垂线，即为垂直于平面PAB的直线．
1．若平面α⊥平面β，直线a∥平面α，则()
A．直线a⊥平面β B．直线a∥平面β
C.直线a与平面β相交 D．以上都有可能
【解析】选D.因为直线a∥平面α，平面α⊥平面β，所以直线a与平面β垂直、相交、平行都有可能．
2．如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上任取一点E，作EF⊥A1B1于F，则EF与平面A1B1C1D
A.平行 B．EF?平面A1B1C1D
C.相交但不垂直 D．相交且垂直
【解析】选D.由于长方体中平面ABB1A1⊥平面ABCD，所以依据面面垂直的性质定理可知，EF与平面A1B1C1D
基础类型一与面面垂直相关的
位置关系(直观想象、逻辑推理)
1．(2024·长春高一检测)已知直线a和平面α、β有如下关系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，则下列命题为真的是()
A．①③?④ B．①④?③
C.③④?① D．②③?④
2．如图，平面α，β，γ，直线a，b，满意α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝a，b⊥γ，推断直线a和b的位置关系．
【解析】1.选C.对于A，由α⊥β，a⊥β，可得a∥α或a?α，故A错误；对于B，由α⊥β，a∥α，可得a?β或a∥β或a与β相交，故B错误；对于C，由a∥α，过a作平面γ与α相交，交线为b，则a∥b，因为a⊥β，所以b⊥β，而b?α，可得α⊥β，故C正确；对于D，由α∥β，a⊥β，可得a⊥α，故D错误．
2．如图，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ上取一点A，在平面γ内作AB⊥m于B，AC⊥n于C，
因为α⊥γ，α∩γ＝m，所以AB⊥α，
因为α∩β＝a，所以AB⊥a，
同理AC⊥a，又AB∩AC＝A，
所以a⊥γ，因为b⊥γ，所以a∥b.
关于空间中的垂直关系
(1)借助正方体等几何图形中垂直的面、线进行推断，也可以利用教室中的灯管、黑板面等实物代表直线、平面，利用实物之间的位置关系进行推断；
(2)结合直线、平面垂直的判定定理、性质定理进行推理论证．
基础类型二面面垂直性质定理的应用(逻辑推理)
【典例】如图，在六面体ABCDEF中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝1，四边形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.
证明：平面BCE⊥平面BDE.
【证明】因为AB∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝eq\f(1,2)CD＝1，所以BD＝BC＝eq\r(2)，CD＝2，所以BC⊥BD，
因为平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，四边形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED?平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，因为BC?平面ABCD，所以BC⊥ED，因为BD，ED?平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，
因为BC?平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.
【备选例题】
如图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，四边形ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD.
【证明】连接BD，因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△AB