2024年新教材高中数学第八章立体几何初步5.1直线与直线平行学案新人教A版必修第二册.doc
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直线与直线平行
在生活中，留意到门扇的两边是平行的，当门扇围着一边转动时，过转动的一边在不同的位置就会有不同的直线．
【问题1】这些直线有什么关系？
【问题2】这些直线为什么平行？
【问题3】什么是空间中的基本领实4?
1．基本领实4
平行于同一条直线的两条直线平行．
本质：该事实即平行公理，空间中推断线线平行的依据，体现了直线的平行具有传递性，空间直线可以平移．
平面中有哪些常用的证明两直线平行的定理？
提示：三角形的中位线平行于底边、平行四边形的对边平行等．
2．等角定理
假如空间中两个角的两条边分别平行，那么这两个角相等或互补．
平面中怎样利用平行证明两个角相等？
提示：两直线平行同位角、内错角相等，平行四边形中对角相等．
1.分别与两条异面直线平行两条直线肯定是异面直线吗？
2．在空间中，假如两个角相等或互补，那么这两个角的边所在的直线肯定平行吗？
3．假如空间中两条相交直线与另外两条直线分别平行，那么两组直线所形成的锐角(或直角)什么关系？
提示：1.不肯定，可能相交；2.不肯定；3.相等．
视察教材P134图8.5－3，当AC⊥BD时，四边形EFGH是什么四边形？
提示：矩形．
1．已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠B′A′C′＝()
A．30°B．150°
C.30°或150°D．大小无法确定
【解析】选C.两个角的两边分别对应平行，那么这两个角是相等或互补关系所以∠B′A′C′＝30°或150°.
2．如图，AA′是长方体ABCD-A′B′C′D′的一条棱，那么长方体中与AA′平行的棱共有________条．
【解析】因为四边形ABB′A′，ADD′A′均为长方形，
所以AA′∥BB′，AA′∥DD′.
又四边形BCC′B′为长方形，所以BB′∥CC′，所以AA′∥CC′.故与AA′平行的棱共有3条，
它们分别是BB′，CC′，DD′.
答案：3
基础类型一空间直线平行的判定及应用(逻辑推理)
1．如图所示，在长方体木块AC1中，E，F分别是B1O和C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有()
A.3条B．4条C．5条D．6条
【解析】1.选B.由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱还有3条：AD，BC，A1D
2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C
【解析】2．在△ABC中，
因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.
又在三棱柱ABC-A1B1C1中，BC∥B1C
所以EF∥B1C1
答案：平行
3．如图，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC和AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C′D′的位置，G，H分别为AD′和BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．
【解析】3．因为梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，所以EF∥AB且EF＝eq\f(1,2)(AB＋CD).
又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB.
因为G，H分别为AD′，BC′的中点，
所以GH∥AB且GH＝eq\f(1,2)(AB＋C′D′)＝eq\f(1,2)(AB＋CD)，
所以GHEF，所以四边形EFGH为平行四边形．
关于空间中两直线平行的证明
(1)协助线：常见的协助线作法是构造三角形中位线，平行四边形的对边．
(2)证明依据：三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理的逆定理，基本领实4，柱体中相对的棱、对角线等的平行关系．
基础类型二等角定理及应用(逻辑推理)
【典例】在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1
证明：∠BGC＝∠FD1E.
【证明】因为F为BB1的中点，所以BF＝eq\f(1,2)BB1，
因为G为DD1的中点，所以D1G＝eq\f(1,2)DD1.
又BB1∥DD1，BB1＝DD1，
所以BF∥D1G，BF＝D1
所以四边形D1GBF为平行四边形．
所以D1F∥GB，同理D1
所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同，
所以∠BGC＝∠FD1E.
关于等角定理的应用
(1)依据空间中相应的定理证明角的两边分别平行，即先证明线线平行．
(2)依据角的两边的方向、角的大小判定角相等．
如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F，G分别为棱A1C1，B1C1，B1
A.相等B．互补
C．相等或互补D．不确定
【解析】选B.由于E，F，G分别为A1C1，B1C1，BB1的中点，所以EF∥A1B1∥AB，FG∥BC
所以∠EFG与∠ABC1的两组