2024_2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步5.2第二课时直线与平面平行的性质学案新人教A版必修第二册.doc
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其次课时直线与平面平行的性质
新课程标准解读
核心素养
1.借助长方体,通过直观感知,归纳出直线和平面平行的性质定理,并加以证明
逻辑推理
2.会应用直线和平面平行的性质定理证明一些空间的简洁线面关系
直观想象
当直线l∥平面α时,l与α没有公共点.此时,若m?α,则l∩m=?.这就是说,l与m的位置关系是平行或异面.
[问题]那么在什么状况下l与m平行呢?
学问点直线与平面平行的性质定理
文字语言
一条直线与一个平面平行,假如过该直线的平面与此平面相交,那么该直线与交线平行
符号语言
a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b
图形语言
eq\a\vs4\al()
对线面平行性质定理的再理解
(1)线面平行的性质定理的条件有三个:
①直线a与平面α平行,即a∥α;
②平面α,β相交于一条直线,即α∩β=b;
③直线a在平面β内,即a?β.三个条件缺一不行.
(2)定理的作用:
①线面平行?线线平行;
②画一条直线与已知直线平行.
1.推断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若直线l∥平面α,且b?α,则l∥b.()
(2)若直线a,b和平面α满意a∥α,b∥α,则a∥b.()
答案:(1)×(2)×
2.已知a,b是两条相交直线,a∥α,则b与α的位置关系是()
A.b∥α B.b与α相交
C.b?α D.b∥α或b与α相交
解析:选D由题意得b∥α和b与α相交都有可能.故选D.
3.如图,在三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且EF∥平面ABC,则()
A.EF与BC相交
B.EF∥BC
C.EF与BC异面
D.以上均有可能
解析:选B∵平面SBC∩平面ABC=BC,EF?平面SBC,又EF∥平面ABC,∴EF∥BC.故选B.
直线与平面平行性质的应用
[例1](链接教科书第138页例3)如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD的平面截此四面体.
求证:截面MNPQ是平行四边形.
[证明]因为AB∥平面MNPQ,
平面ABC∩平面MNPQ=MN,且AB?平面ABC,
所以由线面平行的性质定理,知AB∥MN.
同理可得PQ∥AB.由基本领实4可得MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
所以截面四边形MNPQ为平行四边形.
[母题探究]
(变条件,变设问)若将本例变为:如图所示,四边形ABCD是矩形,P?平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F.求证:四边形BCFE是梯形.
证明:因为四边形ABCD为矩形,所以BC∥AD,
因为AD?平面PAD,BC?平面PAD,
所以BC∥平面PAD.
因为平面BCFE∩平面PAD=EF,且BC?平面BCFE,所以BC∥EF.
因为AD=BC,AD≠EF,所以BC≠EF,
所以四边形BCFE是梯形.
eq\a\vs4\al()
1.利用线面平行性质定理解题的步骤
2.运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再找寻过已知直线的平面与这个平面的交线,然后确定线线平行.
[跟踪训练]
过正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1.求证:BB1∥EE1.
证明:如图所示,因为CC1∥BB1,CC1?平面BEE1B1,BB1?平面BEE1B1,
所以CC1∥平面BEE1B1,
又因为平面CEE1C1过CC1且交平面BEE1B1于EE1,
所以CC1∥EE1.
由于CC1∥BB1,所以BB1∥EE1.
与线面平行性质定理有关的计算问题
[例2]如图,在四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且eq\f(SF,SC)=λ,SA∥平面BEF.求实数λ的值.
[解]如图,连接AC,设AC∩BE=G,连接FG,则平面SAC∩平面EFB=FG.
∵SA∥平面BEF,SA?平面SAC,平面SAC∩平面EFB=FG,
∴SA∥FG,
∴eq\f(SF,FC)=eq\f(AG,GC),
∵AE∥BC,
∴△GEA∽△GBC,
∴eq\f(AG,GC)=eq\f(AE,BC)=eq\f(1,2),
∴eq\f(SF,FC)=eq\f(AG,GC)=eq\f(1,2),即SF=eq\f(1,3)SC,
∴λ=eq\f(1,3).
eq\a\vs4\al()
利用线