2024_2025学年新教材高中数学第八章立体几何初步5.3第一课时平面与平面平行的判定学案新人教A版必修第二册.doc

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第一课时平面与平面平行的判定

新课程标准解读

核心素养

1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面平行的判定定理，并加以证明

逻辑推理

2.会应用平面与平面平行的判定定理证明平面与平面平行

直观想象

上海世界博览会的中国国家馆被永久保留．中国国家馆表达了“东方之冠，鼎盛中华，天下粮仓，富庶百姓”的中国文化的精神与气质，展馆共分三层，这三层给人以平行平面的感觉．

[问题](1)展馆的每两层所在的平面平行，那么上层平面上任始终线状物体与下层地面有何位置关系？

(2)上下两层所在的平面与侧墙所在平面分别相交，它们的交线是什么位置关系？

学问点平面与平面平行的判定定理

文字语言

假如一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行

符号语言

a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?β∥α

语言

eq\a\vs4\al()

判定平面α与平面β平行时，必需具备两个条件

(1)平面α内两条相交直线a，b，即a?α，b?α，a∩b＝P；

(2)两条相交直线a，b都与平面β平行，即a∥β，b∥β.

1．推断正误．(正确的画“√”，错误的画“×”)

(1)若一个平面内有多数条直线都与另一个平面平行，则这两个平面平行．()

(2)若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行．()

答案：(1)×(2)√

2．在正方体中，相互平行的面不会是()

A．前后相对侧面 B．上下相对底面

C．左右相对侧面 D．相邻的侧面

解析：选D由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.

平面与平面平行判定定理的理解

[例1]已知α，β是两个不重合的平面，下列选项中，肯定能得出平面α与平面β平行的是()

A．平面α内有一条直线与平面β平行

B．平面α内有两条直线与平面β平行

C．平面α内有一条直线与平面β内的一条直线平行

D．平面α与平面β不相交

[解析]选项A、C不正确，因为两个平面可能相交；选项B不正确，因为平面α内的这两条直线必需相交才能得到平面α与平面β平行；选项D正确，因为两个平面(不重合)的位置关系只有相交与平行两种，又因为两个平面不相交，所以这两个平面必定平行．故选D.

[答案]D

eq\a\vs4\al()

1．在判定两个平面是否平行时，肯定要强调一个平面内的“两条相交直线”这个条件，线不在多，相交就行．

2．借助于常见几何体(如正方体)进行分析．

[跟踪训练]

设α，β是两个不同的平面，m是直线且m?α，m∥β，若使α∥β成立，则需增加的条件是()

A．n是直线且n?α，n∥β

B．n，m是异面直线且n∥β

C．n，m是相交直线且n?α，n∥β

D．n，m是平行直线且n?α，n∥β

解析：选C要使α∥β成立，须要其中一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，n，m是相交直线且n?α，n∥β，m?α，m∥β，由平面与平面平行的判定定理可得α∥β.故选C.

平面与平面平行的证明

[例2](链接教科书第140页例4)如图所示，已知正方体ABCD-A1B1C1D1.

(1)求证：平面A1BD∥平面B1D1C；

(2)若E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面EB1D1∥平面FBD.

[证明](1)因为B1B綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，

所以B1D1∥BD，又BD?平面B1D1C，B1D1?平面B1D1C，

所以BD∥平面B1D1C.同理A1D∥平面B1D1C.

又A1D∩BD＝D，所以平面A1BD∥平面B1D1C.

(2)由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1.

如图，取BB1的中点G，连接AG，GF，易得AE∥B1G，

又因为AE＝B1G，所以四边形AEB1G是平行四边形，

所以B1E∥AG.

易得GF∥AD，又因为GF＝AD，

所以四边形ADFG是平行四边形，所以AG∥DF，

所以B1E∥DF，

所以DF∥平面EB1D1.

又因为BD∩DF＝D，所以平面EB1D1∥平面FBD.

[母题探究]

(变条件)把本例(2)的条件改为“E，F分别是AA1与CC1上的点，且A1E＝eq\f(1,4)A1A”，求F在何位置时，平面EB1D1∥平面FBD?

解：当F满意CF＝eq\f(1,4)CC1时，两平面平行，下面给出证明：

如图，在D1D上取点M，且DM＝eq\f(1,4)DD1，

连接AM，FM，则AE綉D1M，

从而四边形AMD1E是平行四边形，所以D1E∥