2011年高考数学一轮精品复习课件：第7章《立体几何》——空间向量及其运算.ppt

* 学案7 空间向量及其运算 返回目录 1.空间向量 （1）定义：与平面向量一样，在空间，我们把具有 和 的量叫做空间向量，向量的 叫做向量的长度或模. 大小 方向 大小 返回目录 （3）特殊向量 ①零向量:我们规定， 的向量叫做零向量，记为 . ②单位向量： 的向量称为单位向量. ③相反向量： ， 称为a的相反向量，记为-a. （2）表示方法：与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示.有向线段的长度表示向量的模.如图所示，向量a的起点是A，终点是B，则向量a 也可以记作AB，其模记为 或 . |a| |AB| 长度为0 0 模为1 与向量a长度相等而方向相反的向量 ④相等向量： 的向量称为相 等向量.因此，在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. 2.空间向量的数乘运算 （1）定义：实数λ与空间向量a的乘积 仍是一个向量，称为向量的数乘运算. （2）向量a与λa的关系 ①当λ0时，λa与a方向 . ②当λ=0时，λa= . ③当λ0时，λa与a方向 . ④λa的长度是a的长度的 倍，即|λa|= . 返回目录 方向相同且模相等 λa 相同 0 相反 |λ| |λ||a| （3）运算律 ①分配律：λ(a+b)= . ②结合律：λ(μa)=(λμ)a. 3.共线向量 （1）共线向量的定义 与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线 ，则这些向量叫做共线向量或平行向量. （2）共线向量定理 对于空间任意两个向量a,b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ,使 . （3）共线向量的推论 返回目录 λa+λb 互相平行或重合 a=λb 如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+ta ①, 其中a叫做直线l的 . 如图所示，若在l上取AB=a， 则①式可化为OP= . 4.共面向量 （1）共面向量的定义： 通常把 的向量，叫做共面向量. （2）共面向量定理： 返回目录 方向向量 OA+tAB 平行于同一个平面 如果两个向量a,b不共线，则向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的实数对(x,y)，使p=xa+yb. （3）共面向量定理的推论： 如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件 是存在有序实数对(x,y)，使MP= . 或对空间一点O来说，有OP=OM+xMA+yMB. 5.两向量的夹角 已知两个 向量a,b,在空间任取一点O，作OA=a,OB=b，则 叫做向量a与b的夹角，记作 ，范围为 ，如果a,b= ，则称a与b ,记作 . 返回目录 xMA+yMB 非零 ∠AOB a,b ［0,π］ 互相垂直 a⊥b 6.数量积的定义 已知两个非零向量a,b，则