2019版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第43讲 空间向量及其运算学案.doc

第43讲　空间向量及其运算 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位置． 2．会推导空间两点间的距离公式. 2017·全国卷Ⅲ，16 2016·山东卷，17 空间直角坐标系、空间向量及其运算在高考中主要作为解题工具，解决直线、平面的平行、垂直位置关系的判定等问题. 分值：3分 1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为__0__的向量 0 单位向量 长度(模)为__1__的向量 相等向量 方向__相同__且模__相等__的向量 a＝b 相反向量 方向__相反__且模__相等__的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相__平行或重合__的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个__平面__的向量 2．空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在实数λ，使得__b＝λa__. 推论　如图所示，点P在l上的充要条件是＝＋ta. 其中a叫直线l的方向向量，tR，在l上取＝a，则可化为＝＋t或＝__(1－t)＋t__. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝__x a＋y b__，其中x，yR，a，b为不共线向量，推论的表达式为＝x＋y或对空间向量任意一点O，有＝__＋x＋y__或＝x＋y＋z，其中x＋y＋z＝__1__. (3)空间向量基本定理 如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝__λ1e1＋λ2e2＋λ3e3__，空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫做这个空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则AOB叫做向量a与b的夹角，记作__〈a，b〉__，其范围是__0≤〈a，b〉≤π__，若〈a，b〉＝，则称a与b__互相垂直__，记作a⊥b. 两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则__|a||b|cos 〈a，b〉__叫做向量a，b的数量积，记作__a·b__，即a·b＝__|a||b|cos 〈a，b〉__. (2)空间向量数量积的运算律 结合律：(λa)·b＝__λ(a·b)__； 交换律：a·b＝__b·a__； 分配律：a·(b＋c)＝__a·b＋a·c__. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b __a1b1＋a2b2＋a3b3__ 共线 a＝λb(b≠0，bR) __a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3__ 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) __a1b1＋a2b2＋a3b3＝0__ 模 |a| ____ 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　) (2)对任意两个空间向量a，b，若a·b＝0，则a⊥b.(　×　) (3)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　×　) (4)若a·b0，则〈a，b〉是钝角(　×　) 2．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　A　) A．－a＋b＋c　　　　B．a＋b＋c C．－a－b＋c　　　　D．a－b＋c 解析 ＝＋＋＝－a＋c＋(a＋b)＝－a＋b＋c. 3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是(　A　) A．和 B． C． D．或 解析 因为与向量a共线的单位向量是±， 又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5， 所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4,5)＝±(－3，－4,5)，故选A． 4．如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝__a＋b＋c__(用a，b，c表示)． 解析 ＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)＝a＋b＋c. 5．已知a＝(2,4，x)，b＝(2，y,2)，若|a|＝6，且a⊥b，则x＋y的值为__1或－3__. 解析 |a|＝＝6，即x＝±4， 又a⊥b，即a·b＝0，即4＋4y＋2x＝0， 即或故x＋y＝1或x＋y＝－3. 一　空间向量的线性运算 用已知向量表示某一向量的方法 用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立． 【例1】