2019版高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第42讲 直线、平面垂直的判定及其性质学案.doc

第42讲　直线、平面垂直的判定及其性质 考纲要求 考情分析 命题趋势 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理． 2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题. 2016·全国卷Ⅰ，18 2016·全国卷Ⅱ，19 2016·江苏卷，16 2016·浙江卷，18 与直线、平面垂直有关的命题判断，线线、线面、面面垂直的证明，直线与平面所成的角的计算，求解二面角大小，由线面垂直或面面垂直探求动点的位置. 分值：5～6分 1．直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__都垂直，则该直线与此平面垂直 l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线__平行__ a∥b 2．平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理和性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的一条__垂线__，则这两个平面互相垂直 α⊥β 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于__交线__的直线与另一个平面垂直 l⊥α 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)直线l与平面α内无数条直线都垂直，则lα.(　×　) (2)过一点作已知直线的垂面有且只有一个．(　√　) (3)若两条直线垂直，则这两条直线相交．(　×　) (4)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面．(　×　) (5)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则αβ.(　×　) 解析 (1)错误．直线l与α内两条相交直线都垂直才有lα. (2)正确．过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直． (3)错误．两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面． (4)错误．两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线． (5)错误．α内的一条直线如果与β内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直． 2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且bm，则“αβ”是“ab”的(　A　) A．充分不必要条件　　 B．必要不充分条件 C．充分必要条件　　 D．既不充分也不必要条件 解析 由面面垂直的性质定理可知，当αβ时，bα. 又因为aα，则ab; 如果am，ab，不能得到αβ， 故“αβ”是“ab”的充分不必要条件．故选A． 3．已知m和n是两条不同的直线，α 和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出mβ的是(　C　) A．αβ且mα　　 B．αβ且mα C．mn且nβ　　 D．mn，nα且αβ 解析 αβ，且mα?m?β或mβ或m与β相交，故A项不成立； αβ，且mα?m?β或mβ或m与β相交，故B项不成立； mn，且nβ?m⊥β.故C项成立； mn，nα，且αβ，知mβ不成立，故D项不成立，故选C． 4．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有__7__对． 解析 平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD， 平面PAD平面PCD，平面PCD平面PBC， 平面PAD平面PAB，平面PAC平面PBD，共有7对． 5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC内的射影为点O. (1)若PA＝PB＝PC，则点O是ABC的__外__心； (2)若PAPB，PBPC, PC⊥PA，则点O是ABC的__垂__心． 解析 (1)若PA＝PB＝PC，由勾股定理易得OA＝OB＝OC， 故O是ABC的外心； (2)由PAPB，PCPA，得PA平面PBC，则PABC． 又由PO平面ABC知POBC，所以BC平面PAO，则AOBC，同理得BOAC，COAB，故O是ABC的垂心． 一　直线与平面垂直的判定与性质 (1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，aα?b⊥α)；面面平行的性质(aα，αβ?a⊥β)；面面垂直的性质． (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想． (3)线面垂直的性质常用来证明线线垂直． 【例1】 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点． (1)求证：直线AE直线DA1； (2)在线段AA1上求