2019届高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.6 空间向量及其运算学案 理 北师大版.doc

§8.6　空间向量及其运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示． 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示． 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线和垂直. 本节是空间向量的基础内容，涉及空间直角坐标系、空间向量的有关概念、定理、公式及四种运算等内容．一般不单独命题，常以简单几何体为载体；以解答题的形式出现，考查平行、垂直关系的判断和证明及空间角的计算，解题要求有较强的运算能力. 1．空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为0的向量 0 单位向量 长度(模)为1的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a的相反向量为－a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量中的有关定理 (1)共线向量定理 空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb. (2)共面向量定理 共面向量定理的向量表达式：p＝xa＋yb，其中x，y∈R，a，b为不共线向量． (3)空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，{a，b，c}叫作空间的一个基底． 3．空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． (2)空间向量数量积的运算律 ①(λa)·b＝λ(a·b)； ②交换律：a·b＝b·a； ③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c. 4．空间向量的坐标表示及其应用 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1＋a2b2＋a3b3 共线 a＝λb(b≠0，λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3 垂直 a·b＝0(a≠0，b≠0) a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a| 夹角 〈a，b〉(a≠0，b≠0) cos〈a，b〉＝ 知识拓展 1．向量三点共线定理 在平面中A，B，C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点． 2．向量四点共面定理 在空间中P，A，B，C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点． 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)空间中任意两个非零向量a，b共面．(　√　) (2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　×　) (3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　×　) (4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　×　) (5)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　√　) (6)若a·b0，则〈a，b〉是钝角．(　×　) 题组二　教材改编 2.如图所示，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是(　　) A．－a＋b＋c B.a＋b＋c C．－a－b＋c D.a－b＋c 答案　A 解析　＝＋＝＋(－) ＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c. 3．正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________． 答案　 解析　||2＝2＝(＋＋)2 ＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·) ＝12＋22＋12＋2(1×2×cos 120°＋0＋2×1×cos 120°) ＝2， ∴||＝，∴EF的长为. 题组三　易错自纠 4．在空间直角坐标系中，已知A(1,2,3)，B(－2，－1,6)，C(3,2,1)，D(4,3,0)，则直线AB与CD的位置关系是(　　) A．垂直 B．平行 C．异面 D．相交但不垂直 答案　B 解析　由题意得，＝(－3，－3,3)，＝(1,1，－1)， ∴＝－3，∴与共线，又AB与CD没有公共点，∴AB∥CD. 5．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是__________________________________． 答案　和 解析　因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5， 所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是 ±(－3，－