2019届高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.7 立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直学案 理 北师大版.doc

§8.7　立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 最新考纲 考情考向分析 1.理解直线的方向向量及平面的法向量． 2.能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 利用空间向量证明空间中的位置关系是近几年高考重点考查的内容，涉及直线的方向向量，平面的法向量及空间直线、平面之间位置关系的向量表示等内容．以解答题为主，主要考查空间直角坐标系的建立及空间向量坐标的运算能力及应用能力，有时也以探索论证题的形式出现. 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)v1∥v2. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l(α存在两个实数x，y，使v＝xv1＋yv2. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u， 则l∥α或l(αv⊥u. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥βu1 ∥u2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2v1⊥v2?v1·v2＝0. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥αv∥u. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥βu1⊥u2?u1·u2＝0.  题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．(　×　) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．(　×　) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．(　√　) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．(　√　) (5)若a∥b，则a所在直线与b所在直线平行．(　×　) (6)若空间向量a平行于平面α，则a所在直线与平面α平行．(　×　) 题组二　教材改编 2．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2,2,5)，当v＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 答案　α⊥β　α∥β 解析　当v＝(3，－2,2)时， u·v＝(－2,2,5)·(3，－2,2)＝0α⊥β. 当v＝(4，－4，－10)时，v＝－2uα∥β. 3.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1的中点，则直线ON，AM的位置关系是________． 答案　垂直 解析　以A为原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示． 设正方体的棱长为1，则A(0,0,0)，M， O，N， ·＝·＝0， ∴ON与AM垂直． 题组三　易错自纠 4．已知A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量是平面ABC法向量的是(　　) A．(－1,1,1) B．(1，－1,1) C. D. 答案　C 解析　设n＝(x，y，z)为平面ABC的法向量， 则化简得∴x＝y＝z.故选C. 5．直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有(　　) A．l∥α B．l⊥α C．l与α斜交 D．l(α或l∥α 答案　B 解析　由a＝－n知，n∥a，则有l⊥α，故选B. 6．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则(　　) A．α∥β B．α⊥β C．α，β相交但不垂直 D．以上均不对 答案　C 解析　∵n1≠λn2，且n1·n2＝2×(－3)＋3×1＋5×(－4)＝－23≠0，∴α，β既不平行，也不垂直． 题型一　利用空间向量证明平行问题 典例 (2018·大理月考)如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG. 证明　∵平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD， ∴AB，AP，AD两两垂直，以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(2，0,0)，C(2,2,0)， D(0,2,0)，P(0，0,2)，E(0,0,1)， F(0,1,1)，G(1，2,0)． ∴＝(2,0，－2)，＝(0，－1,0)，＝(1,1，－1)， 设＝s＋t， 即(2,0，－2)＝s(0，