2019届高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 8.8 立体几何中的向量方法（二）求空间角学案 理 北师大版.doc

§8.8　立体几何中的向量方法(二)——求空间角和距离 最新考纲 考情考向分析 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的计算问题． 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 本节是高考中的必考内容，涉及用向量法计算空间异面直线所成角、直线和平面所成角、二面角及空间距离等内容，考查热点是空间角的求解．题型以解答题为主，要求有较强的运算能力，广泛应用函数与方程的思想、转化与化归思想. 1．两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 l1与l2所成的角θ a与b的夹角β 范围 [0，π] 求法 cos θ＝ cos β＝ 2.直线与平面所成角的求法 设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为θ，a与n的夹角为β，则sin θ＝|cos β|＝. 3．求二面角的大小 (1)如图①，AB，CD分别是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉． (2)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)． 知识拓展 利用空间向量求距离(供选用) (1)两点间的距离 设点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则|AB|＝||＝. (2)点到平面的距离 如图所示，已知AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离为||＝. 题组一　思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)两直线的方向向量所成的角就是两条直线所成的角．(　×　) (2)直线的方向向量和平面的法向量所成的角就是直线与平面所成的角．(　×　) (3)两个平面的法向量所成的角是这两个平面所成的角．(　×　) (4)两异面直线夹角的范围是，直线与平面所成角的范围是，二面角的范围是[0，π]．(　×　) (5)若二面角α－a－β的两个半平面α，β的法向量n1，n2所成角为θ，则二面角α－a－β的大小是π－θ.(　×　) 题组二　教材改编 2．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角为(　　) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 答案　A 解析　cos〈m，n〉＝＝＝，即〈m，n〉＝45°. ∴两平面所成二面角为45°. 3.如图，正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为2，则AC1与侧面ABB1A1所成的角为______． 答案　 解析　以A为原点，以，(AE⊥AB)，所在直线分别为x轴，y轴，z轴(如图)建立空间直角坐标系，设D为A1B1的中点， 则A(0,0,0)，C1(1，，2)，D(1,0,2)，∴＝(1，，2)， ＝(1,0,2)． ∠C1AD为AC1与平面ABB1A1所成的角， cos∠C1AD＝ ＝＝， 又∵∠C1AD∈，∴∠C1AD＝. 题组三　易错自纠 4．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　以点C为坐标原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示 的空间直角坐标系． 设直三棱柱的棱长为2，则可得A(2,0,0)，B(0,2,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)． ∴cos〈，〉＝ ＝＝＝. 5．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为________． 答案　30° 解析　设l与α所成角为θ，∵cos〈m，n〉＝－， ∴sin θ＝|cos〈m，n〉|＝，∵0°≤θ≤90°，∴θ＝30°. 6．(2018·马鞍山月考)过正方形ABCD的顶点A作线段PA⊥平面ABCD，若AB＝PA，则平面ABP与平面CDP所成的角为________． 答案　45° 解析　如图，以点A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，设AB＝PA＝1， 则A(0,0,0)，D(0,1,0)，P(0,0,1)， 由题意，知AD⊥平面PAB，设E为PD的中点，连接AE，则AE⊥PD， 又CD⊥平面PAD， ∴CD⊥AE，从而AE⊥平面PCD. ∴＝(0,1,0)，＝分别是平面PAB，平面PCD的法向量，且〈，〉＝45°. 故平面PAB与平面PCD所成的角为45°. 题型一　求异面直线所成的角 典例 如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面