2019届高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 第6讲 空间向量及其运算练习 理 北师大版.doc

第6讲　空间向量及其运算 一、选择题 (2017·铜川调研)已知向量a＝(2m＋1－1)b＝(2－m)且a∥b则实数m的值等于(　　) B.－2或－2 解析　∵a∥b＝＝解得m＝－2. 答案　 2.(2017·海南模拟)在正方体ABCD－A中分别为棱AA和BB的中点则〈〉的值为(　　) B. C. D. 解析　如图设正方体棱长为2则易得＝(2－2)，＝(2－1)〈〉＝＝－〈〉＝＝ 答案　 3.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等是BC的中点那么(　　) ·＜ B.·＝ C.·＞ D.·与的大小不能比较 解析　取BD的中点F连接EF则EF綊因为〈〉＝〈〉＞90因为＝0·＜0所以＞. 答案　 4.已知向量a＝(1)，b＝(－1)，且ka＋b与2a－b互k的值是(　　) －1 C. D. 解析　由题意得a＋b＝(k－1)，2a－b＝(3－2).所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0解得k＝ 答案　 5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a点E分别是BC的中点则的值为(　 A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 解析　如图设＝a＝b＝c， 则|a|＝|b|＝|c|＝a且a三向量两两夹角为60 ＝(a＋b)＝c ∴·＝(a＋b)·c ＝(a·c＋b·c)＝(a2cos 60°＋a)＝a2. 答案　 二、填空题 已知2a＋b＝(0－5)，c＝(1－2－2)a·c＝4b|＝12则以b为方向向量的两直线的夹角为________. 解析　由题意得(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10. 即2ac＋b·c＝－10又∵a·c＝4b·c＝－18 ∴cos〈b〉＝＝＝－ ∴〈b〉＝120两直线的夹角为60 答案　60 7.正四面体ABCD的棱长为2分别为BC中点则EF的长为________. 解析　|＝(＋＋) ＝＋＋＋2(＋＋) ＝1＋2＋1＋2(1×2×＋0＋2×1×) ＝2 ∴||＝的长为 答案　 (2017·南昌调研)已知空间四边形OABC其对角线为OB分别是OA的中点点G在线段MN上且＝2现用基底{，}表示向量有＝x＋y＋z则x的值分别为________ 解析　∵＝＋＝＋ ＝＋(－) ＋ ＝＋＋ ∴x＝＝＝ 答案　， 三、解答题 已知空间中三点A(－2)，B(－1)，C(－3)，设a＝b＝ (1)若|c|＝3且c∥求向量c. (2)求向量a与向量b的夹角的余弦值. 解　(1)∵c∥＝(－3)－(－1)＝(－2－1)， ∴c＝m＝m(－2－1)＝(－2m－m)， ∴|c|＝＝3|m|＝3 ∴m＝±1.∴c＝(－2－1)或(2－2). 2)∵a＝(1)，b＝(－1)，∴a·b＝(1)·(－1)＝－1 又∵|a|＝＝b|＝＝ ∴cos〈a〉＝＝＝－ 即向量a与向量b的夹角的余弦值为－ 10.如图在棱长为a的正方体OABC－O中分别是棱AB上的动点且AE＝BF＝x其中0≤x≤a以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz. (1)写出点E的坐标； (2)求证：A； (3)若A四点共面求证：＝＋ (1)解　E(a)，F(a－x). (2)证明　∵A(a，0，a)，C1(0，a，a)， ∴＝(－x－a)＝(a－a－a) ∴·＝－ax＋a(x－a)＋a＝0 ∴⊥，∴A1F⊥C1E. (3)证明　∵A四点共面 ∴，，共面. 选与为在平面A上的一组基向量则存在唯一实数对(λ)，使＝λ＋λ， 即(－x－a)＝λ(－a)＋λ(0，x，－a) ＝(－aλ＋xλ－aλ)， ∴ 解得λ＝＝1.于是＝＋ 11.在空间四边形ABCD中·＋＋＝(　　) －1 .0 C.1 D.不确定 解析　如图令＝a＝b＝c则＋＋ ＝a·(c－b)＋b·(a－c)＋c·(b－a) ＝a·c－a·b＋b·a－b·c＋c·b－c·a＝0. 答案　 12.若{ab，c}是空间的一个基底且向量p＝xa＋yb＋zc则(x)叫向量p在基底{ab，c}下的坐标. 已知{a}是空间的一个基底a＋ba－bc}是空间的另一个基底一向量p在{a，b，c}下的坐标为(4)，则向量p在基底{a＋ba－bc}下的坐标是(　　) (4，0，3) B.(3，1，3) C.(1，2，3) D.(2，1，3) 解析　设p在基底{a＋ba－bc}下的坐标为x则 ＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc 因为p在{a}下的坐标为(4)， ∴p＝4a＋2b＋3c 由①②得 即p在{a＋ba－bc}下的坐标为(3). 答案　 13.(2017·郑州调研)已知O点为空间直角坐标系的原点向量＝(1)，＝(2)，＝(1)，且点Q在直线OP上运动·取得最小值时的坐标是________. 解析　∵点Q在直线OP上设点