2020版高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算学案解析版.docx

§8.6 空间向量及其运算 最新考纲 1. 了解空间直角坐标系，会用空间直角坐标表示点的位 置 . 2. 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其 意义，了解空间向量的正交分解及其坐标表示 . 3. 了解空间向量的加、减、数乘、数量积的定义、坐标 表示的运算 . 4. 了解空间两点间的距离公式、向量的长度公式及两向 量的夹角公式 .  考情考向分析 本节是空间向量的基础内容， 涉及 空间直角坐标系、 空间向量的有关 概念、定理、公式及四种运算等内 容. 一般不单独命题，常以简单几 何体为载体；以解答题的形式出 现，考查平行、 垂直关系的判断和 证明及空间角的计算， 解题要求有 较强的运算能力 . 空间向量的有关概念 名称 概念 表示 零向量 模为 0 的向量 0 单位向量 长度 (模)为 1 的向量 相等向量 方向相同且模相等的向量 a＝ b 相反向量 方向相反且模相等的向量 a 的相反向量为－ a 共线向量 表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行 a∥ b 或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 空间向量中的有关定理 共线向量定理 空间两个向量 a 与 b( b≠ 0) 共线的充要条件是存在实数 λ，使得 a＝ λb. 共面向量定理 共面向量定理的向量表达式： p ＝ xa ＋ ，其中 x ， ∈R， ， b 为不共线向量 . yb y a 空间向量基本定理 如果三个向量 a ， ， c 不共面，那么对空间任一向量 ，存在有序实数组 { x ， ， } ，使得 p b p y z xa＋yb＋ zc，{ a， b， c} 叫做空间的一个基底 . 3. 空间向量的数量积及运算律 数量积及相关概念①两向量的夹角 → → 已知两个非零向量 a，b，在空间任取一点 O，作 OA＝a，OB＝ b，则∠ AOB叫做向量 a，b 的夹 π 角，记作〈 a，b〉，其范围是 0≤〈 a，b〉≤π，若〈 a， b〉＝ 2 ，则称 a 与 b 互相垂直，记 作 a⊥b. ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量 a， b，则 | a|| b|cos 〈a， b〉叫做向量 a， b 的数量积，记作 a·b， 即 a·b＝ | a|| b|cos 〈 a，b〉. (2) 空间向量数量积的运算律 ①(λa) · b＝ λ( a· b) ；②交换律： a·b＝ b· a；③分配律： a·(b＋ c) ＝ a· b＋ a· c. 空间向量的坐标表示及其应用 设 a＝( a1， a2， a3) ，b＝ ( b1， b2 ，b3).向量表示 数量积 a·b 共线 ＝ ( ≠0， λ ∈ R) a λ b b 垂直 a· b＝ 0 ( a≠ 0 ， b≠ 0) 模 | a| 夹角 〈 a， b〉 ( a ≠ 0 ， ≠0) b  坐标表示 a1b1 ＋a2b2＋ a3b3 a1＝ λb1， a2＝ λb2， a3＝λb3 a1b1＋ a2b2 ＋a3b3＝ 0 2 2 2 a a a 1 2 3 cos〈 a，b〉＝ 2 a1b1＋ a2b2＋ a3b3 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 概念方法微思考 共线向量与共面向量相同吗？ 提示 不相同 . 平行于同一平面的向量就为共面向量 . 零向量能作为基向量吗？ 提示 不能 . 由于零向量与任意一个非零向量共线， 与任意两个非零向量共面， 故零向量不能 作为基向量 . 空间向量的坐标运算与坐标原点的位置选取有关吗？ 提示 无关 . 这是因为一个确定的几何体， 其“线线”夹角、 “点点”距离都是固定的， 坐标 系的位置不同，只会影响其计算的繁简，不会影响结果 . 题组一 思考辨析 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打“√”或“×”) (1) 空间中任意两个非零向量 ， b 共面 .( √ ) a (2) 在向量的数量积运算中 ( a· b) · c＝ a·(b· c).( × ) (3) 对于非零向量 b，由 a· b＝ b·c，则 a＝c .( × ) (4) 两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同 .( × ) (5) 若 A， B， C， D是空间任意四点，则有 → → → → √ ) AB＋ BC＋ CD＋ DA＝ 0.( (6) 若 a·b0，则〈 a， b〉是钝角 .( × ) 题组二 教材改编 2.[P97A 组 T2] 如图所示，在平行六面体 ABCD—ABCD 中， M为 AC 与 B D → 1 1 1 1 1 1 1 1 → → → ) AD＝ b，AA1＝ c，则下列向量中与 BM相等的向量是 ( 1 1 1 1 A. －2a＋ 2b＋ c B. 2a＋2b＋ c C. －21a－ 21b＋ c D. 21a－21b