核按钮2017高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.6 空间向量及其加减、数乘和数量积运算习题 理.doc

§8.6　空间向量及其加减、数乘和数量积运算 1．空间向量的有关概念(1)空间向量：在空间我们把具有________和________的量叫做空间向量．(2)零向量：规定______________的向量叫做零向量．(3)单位向量：________的向量称为单位向量．4)相反向量：与向量a__________________的向量称为a的相反向量记为－a.(5)相等向量：________________的向量称为相等向量．(6)空间向量的加法运算满足交换律及结合律：＋b＝________；(a＋b)＋c＝______________．空间向量的数乘运算(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量称为向量的数乘．当λ____0时λa与向量a方向相同；当λ____0时λa与向量a方向相反．λa的长度是向量a的长度的______倍．(2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律：分配律：λ(a＋b)＝____________．结合律：λ(μa)＝________．(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________________则这些向量叫做共线向量或平行向量．(4)共线向量定理：对空间任意两个向量a，a∥b的充要条件是_________________．(5)空间直线l的方向向量：和直线l________的非零向量a叫做直线l的方向向量．(6)空间直线的向量表示：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线对空间任意一点O点P在直线l上的充要条件是_____________________特别地如果a＝则上式可以化为＝＋，或__________________这也是空间三点A共线的充要条件．(7)共面向量：________________的向量叫做共面向量．(8)空间共面向量定理：如果两个向量a不共线那p与向量a共面的充要条件是________________________________．推论：对空间任意一点O和不共线的三点A满足向量关系式__________________________其中__________则点P与点A共面．空间向量的数量积运算(1)空间向量的数量积：已知两个非零向量a则__________________叫做a的数量积记作a·b通常规定〈a〉π.对于两个非零向量a⊥b?______________．(2)空间零向量与任何向量的数量积为______．(3)a·a＝〈a〉＝______．(4)空间向量的数量积满足如下的运算律：·b＝____；·b＝__________(交换律)；·＝________________(分配律)．自查自纠(1)大小　方向　(2)长度为0　(3)模为1(4)长度相等而方向相反　(5)方向相同且模相等(6)b＋a　a＋(b＋c)(1)①＞　＜　②　(2)①λa＋λb　②(3)互相平行或重合　(4)存在实数λ使a＝λb(5)平行　(6)存在实数t使＝＋ta　＝＋　(7)平行于同一个平面(8)存在惟一的有序实数对(x)，使p＝xa＋yb＝x＋y＋z　x＋y＋z＝1(1)cos〈a〉　a·b＝0　(2)0(3)2　(4)①λ　②b·a　③a·b＋a·c 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 在长方体ABCD-A中＋＋＝(　　) A. 　　　　 C. 　　　　 解：＋＋＝＋＋＝＋＝故选 平行六面体ABCD-A中为AC和BD的交点若＝a＝b＝c则下列式子中与相等的是(　　) A．－＋＋ca＋－c－＋－c－－＋c解：＝＋＝－c＋＝－c＋(b－a)＝－＋c，故选 如图所示已知空间四边形OABC＝OC且∠AOB＝∠AOC＝则〈〉的值为(　　) A．0 B. C. D. 解：设＝a＝b＝c由已知条件〈a〉＝〈a〉＝且|b|＝|c|·＝a·(c－b)＝a·c－a·b＝||c|－||b|＝0，∴cos〈〉＝0.故选 如图在四面体O-ABC中＝a＝b＝c为BC的中点为AD的中点则＝__________(用a表示)． 解：＝＋＝＋＋＝＋＋.故填＋＋. 有下列命题：若p＝xa＋yb则p与a共面；若p与a共面则p＝xa＋yb；若＝x＋y则P共面；若P共面则＝x＋y其中命题正确的是________(写出所有正确命题的编号)．解：①正确；②中若a共线与a不共线则p＝xa＋yb不成立错误；③正确；④中若M共线点P不在此直线上则＝x＋y不成立错误．故填①③. 类型一　空间向量的运算　如图平行六面体-A1B1C1D1中＝a＝b＝c为A的中点为BC与B的交点． (1)用{a，b，c}表示下列向量：，；(2)在图中画出＋＋化简后的向量．解：(1)＝＋＝＋－＝a－b＋c， ＝＋＋＝a＋＋c＝＋＝a＋(b＋c)＝a＋＋. (2)＋＋＝＋(＋)＝＋＝＋. 连接D