核按钮2017高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.5 空间中的垂直关系习题 理.doc

§8.5　空间中的垂直关系 1．线线垂直如果两条直线所成的角是______(无论它们是相交还是异面)那么这两条直线互相垂直．直线与平面垂直(1)定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直我们就说______________________记作______．直线l叫做______________平面α叫做______________．直线与平面垂直时它们惟一的公共点P叫做______．垂线上任意一点到垂足间的线段叫做这个点到这个平面的垂线段垂线段的长度叫做这个点到平面的________．(2)判定定理：一条直线与一个平面内的______________都垂直则该直线与此平面垂直．推论：如果在两条平行直线中有一条垂直于平面那么另一条直线也垂直于这个平面．用符号表示：a∥bα?b⊥α. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线__________．直线和平面所成的角平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的________叫做这条直线和这个平面所成的角．一条直线垂直于平面我们说它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内我们说它们所成的角是0的角．任一直线与平面所成角θ的范围是____________．二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的________________叫做二面角．(2)二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点在两个半平面内分别作______________的两条射线这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．二面角的范围是__________．平面与平面垂直(1)定义：一般地两个平面相交如果它们所成的二面角是____________就(2)判定定理：一个平面过另一个平面的_______则这两个平面垂直．(3)性质定理：两个平面垂直则一个平面内垂直于______的直线与另一个平面垂直．自查自纠1．直角(1)直线l与平面α互相垂直　l⊥α　平面α的垂线直线l的垂面　垂足　距离　(2)两条相交直线　(3)平行锐角　[0] 4．(1)两个半平面所组成的图形　(2)垂直于棱　[0] 5．(1)直二面角　(2)垂线　(3)交线 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ()若l是两条不同的直线垂直于平面α则“l⊥m”是“l∥α”的(　　)充分而不必要条件 ．必要而不充分条件 充分必要条件 ．既不充分也不必要条件解：若l⊥m平面α则l∥α或lα；若l∥α平面α则l⊥ml⊥m”是“l∥α”的必要而不充分条件．故选 ()设αβ是两个不同的平面是两条不同的直线且lα，m?β(　　)若l⊥β则α⊥β ．若α⊥β则l⊥m若l∥β则α∥β ．若α∥β则l∥m解：A，由两平面垂直的判定定理知正确；对于直线l相交、平行、异面都有可能错误；对于要求α内两条相交直线都平行于β才能推出α∥β错误；对于平行、异面都有可能错误．故选 在三棱柱ABC-A中各棱长相等侧棱垂直于底面点D是侧面BB的中心则AD与平面BB1所成角的大小是(　　) 解：如图取BC的中点E连接AE可知AE⊥侧面BB就是AD与侧面BB所成的角．设各棱长为a则在中＝＝＝所以∠ADE＝60故选 如图二面角α-l-β的大小是60线段ABα，B∈l，AB与l所成的角为30则AB与平面β所成的角的正弦值是________． 解：过点A作平面β的垂线垂足为C连接BC在β内作CD⊥l交l于点D连AD.∵l⊥CD，l⊥AC，AC∩CD＝C面ACD.∴l⊥AD.故∠ADC为二面角α-l-β的平面角即∠ADC＝60 易知∠ABC为直线AB与平面β所成的角．设CD＝a则AD＝2a＝又∵∠ABD＝30＝4a.＝＝＝故填 如图在三棱柱ABC-A中侧棱AA底面ABC底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形＝2a＝3a是A的中点点F在线段AA上当AF＝______时平面B 解：B平面ACC1，所以B要CF⊥平面B只要CF⊥DF即可．令CF⊥DF＝∠ACF＝∠A设AF＝x则A＝3a－x.由得＝即＝解得x＝a或x＝2a.(亦可由勾股定理求得)故填a或2a. 类型一　线线垂直问题　如图在四棱台ABCD-A中平面底面ABCD是平行四边形＝2AD＝A＝60 (1)证明：AA；(2)证明：CC平面A证明：(1)∵D面ABCD且BD面ABCD又∵AB＝2AD＝60在△ABD中由余弦定理得BD＝AD＋AB－2AD·AB＝3AD＋BD＝AB又∵AD∩D＝D面ADD又AA面ADD (2)连接AC设AC∩BD＝E连接A四边形ABCD为平行四边形＝由棱台定义及AB＝2AD＝2A知A且＝EC四边形A为平行四边形．又∵A面A面A面A本题主要考查线线、线面位置关系．第(1)问证明线线垂直其实质是通过证明线面垂直再化归为线线垂直；第(2)问证明线面平行需转化为证明线线平行由于面A中没有与CC平行的直线故需作辅助线．　()如图在直三棱