第四章曲线积分与曲面积分六节高斯公式与散度.ppt

CH1_ 第六节 高斯公式与散度 高斯公式 二 通量与散度 一 高斯公式 二 通量与散度 第六节 高斯公式与散度 第十章 曲线积分与曲面积分 定理 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲面? 所 一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在? 上有连续的 围成, ? 的方向取外侧, 则有 证明: 设 则 所以 若 ? 是 其它类型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 相应的区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 例1 计算曲面积分 其中 长方体 解 表面外侧。 原式 例2 计算 为柱面 域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间闭 思考: 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 其中? 例3. 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 例4 利用Gauss 公式计算积分 其中 ? 为锥面 解: 上侧 介于 z = 0 及z = h 之间部分的下侧. 所围区域为?, 作辅助面 则 在闭区域 ?上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 例5 设函数 其中 ? 是整个 ? 边界面的外侧. 分析: 高斯公式 证:令 由高斯公式得 移项即得所证公式. 1 通量 速度为 流速场， 穿过有向曲面 的流量 电位移为 电场， 穿过有向曲面 的电通量 磁感应强度为 磁场， 穿过有向曲面 的磁通量 其中 为有向曲面指定侧的单位法向量。 定义 设向量场 为场内的一条有向曲 面， 称 为向量场 穿过有向曲面 的通量。 物理意义 视 为流速场， 为 上面元素， 则 流向 正侧， 流向 负侧， 为 在 上的叠加（代数和） 流向 正侧的 流向 负侧的 流向 正侧的 流向 负侧的 流向 正侧的 流向 负侧的 特别 为封闭曲面的外侧 流出的 流入的， 内有“泉” 流出的 流入的， 内有“汇” 流出的 流入的，