第四章曲线积分与曲面积分第七节斯托斯公式与旋度.ppt

CH1_ 第七节 斯托克斯公式与旋度 斯托克斯公式 二 环量与旋度 一 斯托克斯公式 二 环量与旋度 第七节 斯托克斯公式与旋度 第十章 曲线积分与曲面积分 定理 设光滑曲面 ? 的边界 ?是分段光滑曲线, (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数, ? 的 侧与 ? 的正向符合右手法则, 在包含? 在内的一 则有 则 (利用格林公式) 证: 情形1 ? 与平行 z 轴的直线只 交于一点, 设其方程为 为确定起见, 不妨设? 取上侧 (如图). 因此 同理可证 三式相加, 即得斯托克斯公式 ; 情形2 曲面? 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可 通过作辅助线面把 ? 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加, 由于沿辅助 曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这 类曲面斯托克斯公式仍成立. 注意: 如果 ? 是 xoy 面上的一块平面区域, 则斯托克斯 公式就是格林公式, 故格林公式是斯托克斯公式的特例. 证毕 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 或用第一类曲面积分表示: 例1 计算曲线积分 其中 是平面 被三坐标面截下的三角形 解 原式 的边界，它的方向为从 轴正向看去是逆时针的。 例2 计算曲线积分 其中 它的方向为从 轴正向看去 解 是逆时针的。 上侧 原式 在 上， 为 落在球 内部分，因此为半径是1的园。 例3 计算曲线积分 其中 它的方向为从 轴正向看去是 逆时针的。 解 上侧 1 环流量的定义: 设有向量场 是场内一条有向分段光滑闭曲线， 称曲线积分 为向量场 沿有向闭曲线L的环量。 例4 求向量场 沿曲线L 的环量， 其中L的方向从z正向看去是逆时针的。 解 L的参数方程为