第四章曲线积分与曲积分第四节对面积的曲面积分.ppt

CH1_ 第四节 对面积的曲面积分 对面积的曲面积分的概念与性质 二 对面积的曲面积分的计算法 一 对面积的曲面积分的概念与性质 二 对面积的曲面积分的计算法 三 积分的统一定义 第四节 对面积的曲面积分 第十章 曲线积分与曲面积分 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 可得 求质 “大化小, 常代变, 近似和, 求极限” 的方法, 量 M. 其中, ? 表示 n 小块曲面的直径的 最大值 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 定义: 设 ? 为有界光滑曲面, “乘积和式极限” 都存在, 的曲面积分 其中 f (x, y, z) 叫做被积 据此定义, 曲面形构件的质量为 曲面面积为 f (x, y, z) 是定义在 ? 上的一 个有界函数, 记作 或第一类曲面积分. 若对 ? 做任意分割和局部区域 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 ? 上对面积 函数, ? 叫做积分曲面. 任意取点, 叫做曲面面积元素。 则对面积的曲面积分存在. ? 对积分域的可加性. 则有 ? 线性性质. 在有界光滑曲面 ?上 对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似. ? 积分的存在性. 若 ? 是分片光滑的, 例如分成两 片光滑曲面 连续, 定理: 设有光滑曲面 f (x, y, z) 在 ? 上连续, 存在, 则曲面 证明: 由定义知 积分 且有 则 (?光滑) 取 同理如果 例1. 计算曲面积分 其中?是球面 被平面 截出的顶部. 解: 例2. 计算 其中? 是由平面 坐标面所围成的四面体的表面. 解: 设 上的部分, 则 与 原式 = 分别表示? 在平面 例3 计算 其中 是介于平面 之间的圆柱面 解 在 上 原式 例4 计算 其中 是由平面 围成的正八面体的表面. 解 设 由对称性得 例5 求抛物面壳 的质量,此壳 的面密度的大小为 解 例5 求均匀半球壳 的形心. 解 由对称性 半球壳的面积