第四章曲线积分与曲面积习题课一.ppt

CH1_ 习 题 课（一） 第十章 曲线积分与曲面积分 习题课10-1 一 对弧长的曲线积分的计算 例1 计算下列对弧长的曲线积分 （1） 其中 圆周 解 （2） 其中 解 (3) 解 (4) 解 (5) 解 其中 原式 (6) 解 由对称性 例2 求椭圆周 的质量，已知线密度为 解 由对称性总质量为椭圆周的第一象限部分 质量的4倍， 例3 求均匀摆线 的质心。 解 不妨设 二 对坐标的曲线积分的计算 的起点 的终点 的起点 的终点 例4 计算曲线积分 （1） 其中L逆时针圆周 解 （2） 从原点 沿曲线 到点 解 （3） 其中 为球面的一部分 的围线，其方向从 正向看去是逆时针的。 解 同理 （4） 其中L为由点 沿曲线 到点 一段。 解 （5） 其中L 逆时针方向。 解 原式 例5 椭圆 上点 处作用 力 其方向为指向椭圆中心， 其模为此点到原点的距 离，求当质点从 沿椭圆周第一象限的弧移动到 所做的功。 解 由于 的方向自点 指向原点， 所以 由于 所以 三 格林公式及其应用 设区域 D 是由分段光滑正向曲线 L 围成, 则有 函数 在 D 上具有连续一阶偏导数, 设D 是单连通域 , 在D 内具有一 阶连续偏导数, (2) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有 (3) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分 (1) 在 D 内每一点都有 与路径无关, 只与起止点有关. 函数 则以下四个条件等价: (4) 在 D 内是某一函数 的全微分, 即 例6 计算下列曲线积分 （1） 其中 为以 为顶点的三角形正向边界。 解 原式 （2） 其中L为以 为顶点的正方形的正向边界。 解 逆时针 例7 计算下列曲线积分 （1） 其中L为 在第一象限的半圆弧正向。 解法一 以路径无关， 解法二 分项组合法