线积分面积分习题课.ppt

如果曲线 L 的方程为 　　三、对面积的曲面积分 五 、几个公式 例3. 格林公式的简单应用 解 更多的例子 或： ? S (x,y,z)在曲面上 ? S (1)简化曲线积分 例1 解 根据格林公式得 例2 解 例3 解 例4 (2)简化二重积分 例5 解 (3)计算平面区域的面积 例6 解 例7 解 (4)计算曲线方程未知的曲线积分 例8 解 (积分值与积分路径无关) 例9 解 解 例4 利用极坐标 例6 解 例7 解 运行时, 点击按钮“定理”, 可看定理内容. * 则有 如果方程为极坐标形式: 则 推广: 设空间曲线弧的参数方程为 则 如果曲线 L 的方程为 则有 一、对弧长的曲线积分的计算法 小结 　　 如果 L 的方程为 则 对空间光滑曲线弧 ?: 类似有 如果 L 的方程为 则上式 二、对坐标的曲线积分的计算法 两类曲线积分之间的联系为 两类曲面积分之间的联系 T 则 按照曲面的不同情况分为以下三种： 则 则 　　四、对坐标的曲面积分 两类曲面积分之间的联系 合一投影法 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. ＋ － 计算 合一投影法 　　将三种类型的积分转化为同一个坐标面上的二重积分. 或由两类曲面积分之间的联系 ? 合一投影法（向量点积法） 例５ 解 利用向量点积法 解 例5 解 利用两类曲面积分之间的关系 代入得： 二　高斯 公式 ? 的方向取外侧, Γ定向曲面边界曲线的正方向 三、斯托克斯公式 L的方向区域的正向 一　格林公式 六、利用轮换对称性简化第一类曲面积分 轮换不变性 若曲面?有轮换对称性, 则?上的第一类曲面积分有轮换不变性. 轮换对称性适用于第一类曲面线分 第一类曲面积分、二重积分、三重积分 积分具有轮换不变性 线 例. 计算 其中?为球面 被平面 所截的圆周. 解: 由轮换对称性可知 x, y, z 地位相等 (x,y,z)在曲线上 例 解 由积分的轮换不变性知 例1 例2 解 y y y 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 更多的例子 * *