曲面积分与习题课 .ppt

斯托克斯( Stokes ) 公式 2. 基本技巧 例8. 计算曲面积分 例9. 设 ? 是曲面 例10. 计算曲面积分 例11. 然后用高斯公式 . 引申: 2 分两种情形 情形1： ?不包围原点的任意闭曲面。 情形2： ?包围原点的任意闭曲面。 问题转化为与引申1类似的情形。 解: 取足够小的正数?, 作曲面 取下侧 使其包在 ? 内, 为 xoy 平面上夹于 之间的部分, 且取下侧 , 取上侧, 计算 则 第二项添加辅助面, 再用高斯公式 计算, 得 中? 是球面 解: 利用对称性 用重心公式 (曲面关于xoz面对称） 设L 是平面 与柱面 的交线 从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 ? 为平面 上 L 所围部分的上侧, D为?在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式 * * 曲面积分习题课 则 如果曲面方程为以下三种： 则 第一类曲面积分 1. 基本计算公式 则 计算的关键是看所给曲面方程的形式！！！ ? 若 则有 ? 若 则有 (前正后负) (右正左负) 若 注意:对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧. (上正下负) 则有 第二类曲面积分 两类关系 向量点积法 两类关系公式的另一种表达形式 向量点积法 向量点积法 一、高斯公式 定理 设向量场 P, Q, R, 在域G内有一阶 连续 偏导数, 则 向量场通过有向曲面 ? 的通量为 2. 通量与散度 G 内任意点处的散度为 斯托克斯(stokes)公式 斯托克斯公式 2. 旋度 (1) 利用对称性及重心公式简化计算 (2) 利用高斯公式 注意公式使用条件 添加辅助面的技巧 (辅助面一般取平行坐标面的平面) (3) 两类曲面积分的转化 解：由于 关于变量 x, y 轮换对称性 例1 解 由点到平面的距离公式,得 例2 得 解：利用奇偶对称性 例3 例4 解 利用向量点积法 法1： 用高斯公式. 补面： 取下面， 取上面。 则 构成封闭曲面，且取外侧。 计算 由高斯公式 法2： 注意：若用柱面坐标计算三重积分，要分区域考虑。 例5 解 利用两类曲面积分之间的关系 上侧. 其中 ? 的上侧. 且取下侧 , 提示: 以半球底面 原式 = 记半球域为 ? , 高斯公式有 计算 为辅助面, 利用 为半球面 例6 例7. 证明: 设 (常向量) 则 单位外法向向量, 试证 设 ? 为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为?的 其中, 解: 引申: 1.本题 ? 改为椭球面 时, 应如何计算 ? 应如何计算 ? 2.若本题 ?改为不经过原点的任意闭曲面的外侧， ?: 计算： 其中： 引申: 1