第四章曲线积分与曲积分第二节对坐标的曲线积分.ppt

CH1_ 第二节 对坐标的曲线积分 对坐标的曲线积分的概念 对坐标的曲线积分的性质 对坐标的曲线积分的计算法 两类曲线积分的关系 一 对坐标的曲线积分的概念 二 对坐标的曲线积分的性质 三 对坐标的曲线积分的计算法 四 两类曲线积分之间的联系 第二节 对坐标的曲线积分 第十章 曲线积分与曲面积分 1实例: 变力沿曲线所作的功 常力所作的功 分割 方法：大化小，常代变，近似和，求极限。 近似和 取极限 近似值 精确值 常代变 2. 定义. 设 L 为xoy 平面内从 A 到B 的一条有向光滑 弧段, 若对 L 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在, 在有向曲线弧 L 上 对坐标的曲线积分, 则称此极限为函数 或第二类曲线积分. 其中, L 称为积分弧段 或 积分曲线 . 称为被积函数 , 在L 上定义了一个有界向量函数 极限 记作 若 ?为空间曲线弧 , 记 称为对 x 的曲线积分; 称为对 y 的曲线积分. 若记 对坐标的曲线积分也可写作 类似地, （称其为有向弧元素） (1) 即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. 定理: 在有向光滑弧 L 上有定义且 L 的参数方程为 则曲线积分 连续, 证明: 下面先证 存在, 且有 对应参数 设分点 根据定义 由于 因为L 为光滑弧 , 同理可证 特别是, 如果 L 的方程为 则 对空间光滑曲线弧 ?: 类似有 例1. 计算 其中L 为沿抛物线 解法1 取 x 为参数, 则 解法2 取 y 为参数, 则 从点 的一段. 例2. 计算 其中 L 为 (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B (– a , 0 ). 解: (1) 取L的参数方程为 (2) 取 L 的方程为 则 则 例3. 计算 其中L为 (1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 解: (1) 原式 (2) 原式 (3) 原式 例4. 设在力场 作用下, 质点由 沿?移动到 解: (1) (2) ? 的参数方程为 试求力场对质点所作的功. 其中?为 例5 计算曲线积分 其中 相应于 的一段，依 解 增长的 方向。 例6. 求 其中 从 z 轴正向看为顺时针方向. 解: 取 ? 的参数方程 在曲线积分 中 因此 其中 为弧微分， 记 为以 同向的单位向量， 则 另一方面， 设有向光滑弧 L 以弧长为参数 的参数方 程为 则L切向量为