《高等数学》电子课件(自编教材)02第六章 第4节定积分在物理上的应用.ppt
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一、变力沿直线所作的功 二、水压力 三、引力 四、小结及作业 一、变力沿直线所作的功 解 功元素 所求功为 如果要考虑将单位电荷移到无穷远处 点击图片任意处播放\暂停 解 建立坐标系如图 这一薄层水的重力为 功元素为 (千焦). 解 设木板对铁钉的阻力为 第一次锤击时所作的功为 例3 用铁锤把钉子钉入木板,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比,铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米,若每次锤击所作的功相等,问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少? 设 次击入的总深度为 厘米 次锤击所作的总功为 依题意知,每次锤击所作的功相等. 次击入的总深度为 第 次击入的深度为 二、水压力 解 在端面建立坐标系如图 解 建立坐标系如图 面积微元 三、引力 解 建立坐标系如图 将典型小段近似看成质点 小段的质量为 小段与质点的距离为 引力 水平方向的分力元素 由对称性知,引力在铅直方向分力为 利用“微元法”思想求变力作功、水压力和引力等物理问题. (注意熟悉相关的物理知识) 四、小结 练习与思考题 1、一球完全浸没水中,问该球面所受的总压力与球浸没的深度有无关系?它所受的总压力与它在水中受到的浮力有何关系? 解答: 该球面所受的总压力方向向上(下半球面所受的压力大于上半球面),其值为该球排开水的重量,即球的体积,也就是它在水中受到的浮力.因此该球面所受的总压力与球浸没的深度无关. * 抽出所做的功 为将全部水提到池沿高度所需的功. 对应于 微元体积: 微元的重力 : 薄层所需的功元素 故所求功为 2、设有半径为 R 的半球形容器如图.求 将满池水全部 解 * 3、一等腰梯形闸门垂直立在水中, 它的两条底边长 各为6 m和2 m.较长的底边与水面平齐,其高为10 m。 试计算闸门一侧所受的水压力。 0 B(0,3) A(10,1) 解:取坐标系如图, 采用元素法 1、取水深 为积分变量。 2、在 内任取 在此区间上相应的一小条闸门面积 小条闸门一侧所受的水压力(压力元素) 3、则所求的水压力 要计算这个积分,就要找出 之间的依赖关系 * 因为 正好是直线AB上点的坐标,通过建立直线 AB的方程,找出 之间的关系。 利用直线的两点式求得: 则闸门一侧所受的水压力为: (千克力) 0 B(0,3) A(10,1) * (99考研) 提示: 作 x 轴如图. 4、为清除井底污泥, 用缆绳将抓斗放入井底, 泥后提出井口, 缆绳每 在提升过程中污泥 以20N /s 的速度从抓斗缝隙中漏掉, 现将抓起污泥的抓斗提升到井口, 抓斗抓起的污泥重2000N , 提升速度为3m /s , 问 克服重力需作多少焦耳( J ) 功? 已知井深30 m , 抓斗自重400N , 将抓起污泥的抓斗由 抓起污 x 提升 dx 所作的功为 米重50N , * 提升抓斗中的污泥: 井深 30 m, 抓斗自重 400 N, 缆绳每米重50N, 抓斗抓起的污泥重 2000N, 提升速度为3m∕s, 污泥以 20N∕s 的速度从抓斗缝隙中漏掉 克服缆绳重: 抓斗升至 x 处所需时间 : 克服抓斗自重: 由物理学知道,如果物体在作直线运动的过程中有一个不变的力作用在这物体上,且这力的方向与物体的运动方向一致,那么,在物体移动了距离 时,力对物体所作的功为.
如果物体在运动的过程中所受的力是变化的,就不能直接使用此公式,而采用“微元法”思想.
例1 把一个带 电量的点电荷放在 轴上坐标原点处,它产生一个电场.这个电场对周围的电荷有作用力.由物理学知道,如果一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为 的地方,那么电场对它的作用力的大小为 ( 是常数),当这个单位正电荷在电场中从 处沿 轴移动到 处时,计算电场力 对它所作的功.
取为积分变量,
取任一小区间,
例2 一圆柱形蓄水池高为5米,底半径为
3米,池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出,需作多少功?
取为积分变量,
取任一小区间,
由物理学知道,在水深为 处的压强为,这里 是水的比重.如果有一面积为的平板水平地放置在水深为 处,那么,平板一侧所受的水压力为 .
如果平板垂直放置在水中,由于水深不同的点处压强不相等,平板一侧所受的水压力就不能直接使用此公式,而采用“微元法”思想.
例4 一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,设桶的底半径为,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力.
取为积分变量,
取任一小区间
小矩形片上各处的压强近似相等
小矩形片的面积为
小矩形片的压力元素为
端面上所受的压力
例5 将直角边各为 及 的直角三角形薄板垂直地浸人水
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